运城学院应用数学系2021年1月抽象代数试题及答案(A) 一、填空题（每空3分，共30分） 1、在S中所有与(123)可交换的元素为(1)、(123)、(132)。 2、在区间[1,2]上有运算aob=min{a,b},则单位元为2。 3、如果G是阶为15的非循环群，则G中任意元素的阶只能是1、3、5。 4、设0是群G到群G的满同态满射，且G=m,同=m,则Kr-” 5、设H≤G,则左陪集aH是G的子群的充分必要条件为a∈H或aH=H。 6、已知群G中的元素a的阶等于15，则a的阶等于5 7、设G=(a是10阶循环群，则G的生成元素有4个。 8、设0=(47512)是一个轮换，则o的逆为21574)。 9、规定实数集R上的运算×为a×b=ab-a-b(等号右边的运算是普通乘法和普通减 法)，则对于结合率和交换率而言，这个运算满足交换率。 10、若一个置换群中含有k个偶置换，则这个群共含有k或2k个元素。 二、简答题（每小题10分，共40分） 123456 123456 11、设o= 214536= 325641 求ox。 解：1=23456 153465分 61 。5分 12、设G是群，N是G的正规子群。证明：如果N及商群GW都是周期群，则 G也是周期群。 证明：任取a∈G,则aN∈GN,因为商群GN是周期群，故有正整数m使N= (aN)m=amN,所以am∈N。5分 又因为N也是周期群，故又有正整数n,使e=(am)n=amm,从而a的阶有限，即 G是一个周期群。5分 13、设p是一个素数，m是一正整数，证明p"阶群G中一定有p阶元。 证明：在群G中任取一个元素a≠e,设a=n,则必有np",所以n=p,l≤s≤m, 即a=p=pp,从而a=p。l0分运城学院应用数学系 2021 年 1 月抽象代数试题及答案（A） 一、填空题（每空 3 分，共 30 分） 1、在 S3 中所有与（1 2 3）可交换的元素为 (1)、(1 2 3)、(1 3 2) 。 2、在区间[1, 2]上有运算 a b a b = min{ , } ，则单位元为 2 。 3、如果 G 是阶为 15 的非循环群，则 G 中任意元素的阶只能是 1、3、5 。 4、设  是群 G 到群 G 的满同态满射，且 G n = ， G m= ，则 Ker = n m 。 5、设 H G ，则左陪集 aH 是 G 的子群的充分必要条件为 a H 或 aH=H 。 6、已知群 G 中的元素 a 的阶等于 15，则 a 9的阶等于 5 。 7、设 G a =   是 10 阶循环群，则 G 的生成元素有 4 个。 8、设 σ=(4 7 5 1 2)是一个轮换，则 σ 的逆为 (2 1 5 7 4) 。 9、规定实数集 R 上的运算×为 a×b=ab-a-b(等号右边的运算是普通乘法和普通减 法)，则对于结合率和交换率而言，这个运算满足 交换率 。 10、若一个置换群中含有 k 个偶置换，则这个群共含有 k 或 2k 个元素。 二、简答题（每小题 10 分，共 40 分） 11、设 1 2 3 4 5 6 2 1 4 5 3 6    =     ， 1 2 3 4 5 6 3 2 5 6 4 1    =     ，求 1   − 。 解： 1 1 2 3 4 5 6 2 1 5 3 4 6  −   =     ，......5 分 1 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 2 1 5 3 4 6 3 2 5 6 4 1 5 1 4 6 3 2   −      = =           。......5 分 12、设 G 是群，N 是 G 的正规子群。证明：如果 N 及商群 G/N 都是周期群，则 G 也是周期群。 证明：任取 a∈G，则 aN∈G/N，因为商群 G/N 是周期群，故有正整数 m 使 N = (aN)m = amN，所以 a m∈N。......5 分 又因为 N 也是周期群，故又有正整数 n，使 e = (am) n = amn，从而 a 的阶有限，即 G 是一个周期群。......5 分 13、设 p 是一个素数，m 是一正整数，证明 p m阶群 G 中一定有 p 阶元。 证明：在群 G 中任取一个元素 a≠e，设 a n = ，则必有 m n p ，所以 n=ps，1≤s≤m， 即 1 = s s a p p p − =  ，从而 s 1 p a p − = 。......10 分