14、若0是群G到群G的同态映射，证明mp≤G。 证明：任取h,h∈mp,则存在a,a2∈G,使得h=p(a),h=p(a2),4 分 所以hh=p(a)p(a2)=p(a,a2)∈mp,.3分 h=p(a)=p(a)∈mp。.3分 所以mp≤G。 三、证明、计算、推理题（每小题10分，共30分) 15(计算题)、写出12阶循环群(a)的所有子群。 解：1阶子群为{e}, 2阶子群为{e,a}, 3阶子群为{e,a4,a8}, 4阶子群为{e,a3,a,a}, 6阶子群为{e,a2,a4,a5,a8,a0, 12阶子群为(a）。.10分 16(证明题)、证明数集Z[={a+bi|a,b∈Z关于数的加法与乘法构成一个有单 位元的交换环。 证明：I)任给a=a+bi,B=c+di∈Z[叮，a,b,c,d∈Z,则 a+B=(a+c)+(b+d)i∈Z[ a邱=(ac-bd)+(ad+bc)i∈Z[i 所以，数的加法与乘法是Z[门的代数运算。2分 2)因为数的加法与乘法满足交换律，结合律，且乘法对加法有分配律，所以Z[凹 的加法与乘法也满足这些运算律。2分 3)因为0=0+0i∈Z[的，且对任意的a=a+bi∈Z[),有0+a=a+0=a,所以 0为Z[的的零元。.2分 4)对任意的a=a+bi∈Z[i,有-a=-a-bi=(-a)+(-b)i∈Z[i,且a+(-a)=0, 所以，a=a+bi∈Z[的的负元为(-a)+(-b)i∈Z[叮。2分 5)因为1=1+0i∈Z[),且对任意的a=a+bi∈Z[i),有1a=a1=a,所以数1 为Z[们的单位元。2分 证毕。 17(推理题)、使图形不变形地变到与它重合的变换称为这个图形的对称变换。14、若  是群 G 到群 G 的同态映射，证明 Im  G。 证明：任取 1 2 h h, Im   ，则存在 1 2 a a G ,  ，使得 1 1 h a =( ) ， 2 2 h a =( )，......4 分 所以 1 2 1 2 1 2 h h a a a a = =      ( ) ( ) ( ) Im ，......3 分 1 1 1 1 1 1 h a a    ( ) ( ) Im − − − = =  。......3 分 所以 Im  G。 三、证明、计算、推理题（每小题 10 分，共 30 分） 15(计算题)、写出 12 阶循环群   a 的所有子群。 解：1 阶子群为{e}， 2 阶子群为{e, a6}， 3 阶子群为{e, a4 , a8 }， 4 阶子群为{e, a3 , a6 , a9}， 6 阶子群为{e, a2 , a4 , a6 , a8 , a10}， 12 阶子群为   a 。......10 分 16(证明题)、证明数集 Z[i] = {a + bi | a, b∈Z}关于数的加法与乘法构成一个有单 位元的交换环。 证明：1) 任给 α = a + bi, β = c + di∈Z[i]，a, b, c, d ∈Z，则 α + β = (a + c) + (b + d)i∈Z[i] αβ = (ac - bd) + (ad + bc)i∈Z[i] 所以，数的加法与乘法是 Z[i]的代数运算。......2 分 2) 因为数的加法与乘法满足交换律，结合律，且乘法对加法有分配律，所以 Z[i] 的加法与乘法也满足这些运算律。......2 分 3) 因为 0 = 0 + 0i∈Z[i]，且对任意的 α = a + bi∈Z[i]，有 0 + α = α + 0 = α，所以 0 为 Z[i]的零元。......2 分 4) 对任意的 α = a + bi∈Z[i]，有-α = -a – bi = (-a) + (-b)i∈Z[i]，且 α + (-α) = 0， 所以，α = a + bi∈Z[i]的负元为(-a) + (-b)i∈Z[i]。......2 分 5) 因为 1 = 1 + 0i∈Z[i]，且对任意的 α = a + bi∈Z[i]，有 1α = α1 = α，所以数 1 为 Z[i]的单位元。......2 分 证毕。 17(推理题)、使图形不变形地变到与它重合的变换称为这个图形的对称变换