特约专稿 子在欧洲核子研究中心(CERN)被两个大型实验组 前半叶诞生了一个名为纤维丛(fiber bundle)的数学 发现（见Physics Today,2012年9月刊，第12页）。 理论。这一理论有众多源头，包括微分形式（主要归 尽管如此成功，标准模型不可能是终极理 功于嘉当(Elie Cartan))、统计学(Harold Hotelling). 论。首先，标准模型包含几十个参数。更重要的 拓扑学(Hassler Whitney)、整体微分几何（陈省身） 是，作为标准模型的一个核心部分，“对称性自 以及联络理论(Charles Ehresmann)。概念起源的 发破缺”机制是一个纯粹唯象的构造，它在很多 多样性表明了纤维丛是个核心的数学构造。 方面与费米的“四费米子相互作用(four-业inter- 在1970年代，人们发现规范理论的数学形式 action)”相似。在1934年被提出后，费米理论 和纤维丛完全一致，这对物理学家和数学家都是 保持了近40年的成功，但它最终被更深刻的U①)× 一个震撼网。但这也是一个大家乐于感受的震 SU(2)电弱统一理论(electroweak theory)取代。 撼，因为它提供了一个沟通数学和物理的桥梁， 1850年代汤姆孙和麦克斯韦已经明确知晓规 而这种沟通曾在20世纪中期以后因为数学进展的 范自由度。在难以捉摸的“电紧张态”中，法拉 高度抽象性而中断过。 第可能也曾模糊地感觉到了它。1929年，魏尔在 在1975年，我从我的数学同事西蒙斯(James 量子力学的框架内把规范自由度转述为麦克斯韦 Simons)那里学到了纤维丛理论的一些基础知识， 方程组的一个对称性（或称“不变性”）。今天我 随后我给他看了狄拉克在1931年发表的一篇关于 们称这一对称性为“规范对称性”，它已经成为 磁单极子的文章。他惊呼：“狄拉克领先于数学 标准模型的结构性支柱。 家发现了平凡和非平凡的纤维丛。” 麦克斯韦方程组是线性的。在非阿贝尔规范 在即将结束我们这个关于规范理论观念起源 理论中，方程组是非线性的。从观念上来说，这 的简略概述时，也许我们可以引用1867年麦克斯 一非线性的起源类似于广义相对论方程的非线 韦在法拉第去世的时候的悼词： 性。关于后者，爱因斯坦曾写道： 法拉第通过他的力线概念来统一地理解各种 我们在这里只讨论纯引力场的方程。 电磁感应现象，他运用这种想法的方式显示出他 这些方程的奇特性一方面在于它们的复杂构 是一位高超的数学家—未来的数学家将能从他 造，特别是方程对于场变量和它们的微商的非线 那里获得丰富而有价值的方法 性特征；另一方面在于这些复杂的场定律在很大 从欧几里得的直线到法拉第的力线，这正是推 程度上几乎完全被变换群所确定。（见参考文献 动科学进步的思想的特征。通过自由运用动力学和 [7],第75页) 几何学的思想，我们也期望未来能有新的进展… 真实的自然定律不可能是线性的，也不可能 以我们正在积累的素材为基础，也许下一个 从线性方程中导出。（见参考文献[7]，第89页） 像法拉第一样的哲人能够发展出全新的科学，而 在完全独立于物理学发展的道路上，20世纪 我们今天很可能连它的名称都还不知道。 参考文献 [1]James F A J L(ed.).The Correspondence of Michael Faraday,Vol. K(ed.),.Springer,.1986.p.7:以及文章：WACT,Yang C N.Int 1.Institution of Electrical Engineers,1991,p.287 J.Mod.Phys.A,2006,21:3235 [2]Larmor J.Proc.Cambridge Philos.Soc.,1936,32:695.p.697 [5]Yang C N,Mills R.Phys.Rev.,1954,95:631 [3]Kinoshita T.in Proceedings of the Conference in Honour of the [6费米原始论文的英文翻译见于：Wilson F L.Am.J.Phys.,l968, 90th Birthday of Freeman Dyson.Phua KK et aleds.).World 36:1150 Scientific,2014.p.148 [7]Schilpp PA(ed.).Albert Einstein:Philosopher-Scientist.Open Court, [4]关于这件事及其后续历史，参见杨振宁发表于此书的文章： 1949.这两段话摘自爱因斯坦在1946年（当时他67岁）的自述 Hermann Weyl,1885-1985:Centenary Lectures.Chandrasekharan [8]Wu TT,Yang C N.Phys.Rev.D,1975,12:3845 ·786. 约里·43卷2014年12期特约专稿 ·43卷 (2014 年) 12 期 子在欧洲核子研究中心(CERN)被两个大型实验组 发现(见Physics Today，2012年9月刊，第12页)。 尽管如此成功，标准模型不可能是终极理 论。首先，标准模型包含几十个参数。更重要的 是，作为标准模型的一个核心部分，“对称性自 发破缺”机制是一个纯粹唯象的构造，它在很多 方面与费米的“四费米子相互作用(four- ψ inter￾action)”相似[6] 。在 1934 年被提出后，费米理论 保持了近40年的成功，但它最终被更深刻的U(1)× SU(2) 电弱统一理论(electroweak theory)取代。 1850年代汤姆孙和麦克斯韦已经明确知晓规 范自由度。在难以捉摸的“电紧张态”中，法拉 第可能也曾模糊地感觉到了它。1929年，魏尔在 量子力学的框架内把规范自由度转述为麦克斯韦 方程组的一个对称性(或称“不变性”)。今天我 们称这一对称性为“规范对称性”，它已经成为 标准模型的结构性支柱。 麦克斯韦方程组是线性的。在非阿贝尔规范 理论中，方程组是非线性的。从观念上来说，这 一非线性的起源类似于广义相对论方程的非线 性。关于后者，爱因斯坦曾写道： 我们在这里只讨论纯引力场的方程。 这些方程的奇特性一方面在于它们的复杂构 造，特别是方程对于场变量和它们的微商的非线 性特征；另一方面在于这些复杂的场定律在很大 程度上几乎完全被变换群所确定。(见参考文献 [7]，第75页) 真实的自然定律不可能是线性的，也不可能 从线性方程中导出。(见参考文献[7]，第89页) 在完全独立于物理学发展的道路上，20世纪 前半叶诞生了一个名为纤维丛(fiber bundle)的数学 理论。这一理论有众多源头，包括微分形式(主要归 功于嘉当(Élie Cartan))、统计学(Harold Hotelling)、 拓扑学(Hassler Whitney)、 整体微分几何(陈省身) 以及联络理论(Charles Ehresmann)。概念起源的 多样性表明了纤维丛是个核心的数学构造。 在1970年代，人们发现规范理论的数学形式 和纤维丛完全一致，这对物理学家和数学家都是 一个震撼[8] 。但这也是一个大家乐于感受的震 撼，因为它提供了一个沟通数学和物理的桥梁， 而这种沟通曾在20世纪中期以后因为数学进展的 高度抽象性而中断过。 在1975年，我从我的数学同事西蒙斯(James Simons)那里学到了纤维丛理论的一些基础知识， 随后我给他看了狄拉克在1931年发表的一篇关于 磁单极子的文章。他惊呼：“狄拉克领先于数学 家发现了平凡和非平凡的纤维丛。” 在即将结束我们这个关于规范理论观念起源 的简略概述时，也许我们可以引用1867年麦克斯 韦在法拉第去世的时候的悼词： 法拉第通过他的力线概念来统一地理解各种 电磁感应现象，他运用这种想法的方式显示出他 是一位高超的数学家——未来的数学家将能从他 那里获得丰富而有价值的方法…… 从欧几里得的直线到法拉第的力线，这正是推 动科学进步的思想的特征。通过自由运用动力学和 几何学的思想，我们也期望未来能有新的进展…… 以我们正在积累的素材为基础，也许下一个 像法拉第一样的哲人能够发展出全新的科学，而 我们今天很可能连它的名称都还不知道。 参考文献 [1] James F A J L(ed.). The Correspondence of Michael Faraday，Vol. 1. Institution of Electrical Engineers，1991，p. 287 [2] Larmor J. Proc. Cambridge Philos. Soc.，1936，32:695. p.697 [3] Kinoshita T. in Proceedings of the Conference in Honour of the 90th Birthday of Freeman Dyson. Phua K K et al(eds.). World Scientific，2014. p.148 [4] 关于这件事及其后续历史，参见杨振宁发表于此书的文章： Hermann Weyl，1885—1985：Centenary Lectures. Chandrasekharan K(ed.). Springer，1986. p.7；以及文章：Wu A C T，Yang C N. Int. J. Mod. Phys. A，2006，21：3235 [5] Yang C N，Mills R. Phys. Rev.，1954，95：631 [6] 费米原始论文的英文翻译见于：Wilson F L. Am. J. Phys.，1968， 36：1150 [7] Schilpp PA(ed.).Albert Einstein：Philosopher-Scientist.OpenCourt， 1949.这两段话摘自爱因斯坦在1946年(当时他67岁)的自述 [8] Wu T T，Yang C N. Phys. Rev. D ，1975，12：3845 · 786 ·