魏尔意识到“平行移动”这个概念的重要 性使得麦克斯韦方程组成为理解物理宇宙的结构 性。他论证道：“为了与自然界相符，黎曼几何 的基础支柱。 必须建立在矢量的无穷小平行移动这一观念 魏尔的规范变换涉及到时空中的逐点(1)转 上”。魏尔进一步说，既然在平行移动中，矢量 动，或者说复平面上的转动。这一点和麦克斯韦 场的方向不断改变，那为什么不允许它的长度也 的转动涡旋有着显著相似。当然，这种相似是个 改变呢？由此出发，魏尔提出了所谓“noninte- 巧合。 grable Streckenfacktor(不可积伸缩因子)”的概 从数学上看，公式（⑦）中的相位因子形成一个 念，或者叫“Proportionalitatsfacktor'”,它通过如 李群U1),而魏尔最喜爱的研究领域之一正是李 下公式和电磁场发生联系： 群。对背景知识较多的读者，我可以提出一个猜 exp(-Je4.dx"l), (5) 测：假如纤维丛理论在1929年前就建立了，魏尔 在这里A,是四维矢量势，系数y是实数。魏尔给 显然会认识到电磁学就是一个(1)纤维丛理论， 并且很有可能在那时就把它推广为非阿贝尔规范 在时空中运动的每个带电物体都附加一个伸缩因 理论，因为这正是他1929年的理论的自然延伸。 子。在魏尔的第二篇文章后爱因斯坦添加了一个 历史上，这一延伸发生于1954年，并且来自 附注，其中爱因斯坦批评了平行移动改变长度的 不同的动机。新的动机并不是基于纯数学上的考 想法，魏尔未能有力地反驳爱因斯坦的毁灭性 虑。当时粒子物理实验中涌现出越来越多的“奇 评论。 异”粒子，因此迫切需要一个原理来描述它们之 在量子力学建立后的1925一1926年，福克 间的相互作用。这一物理动机简洁地体现在以下 (Vladimir Fock)和伦敦(Fritz London)独立指出，在 这个发表于1954年的摘要里： 量子力学里，(p-eA)应该由如下公式取代： 电荷是电磁场的源；这里有一个名为规范不 -0.-光4 (6) 变性的重要观念，它与以下几件事物有紧密联 这个公式又意味着在方程(5)中，eA.dr“y应该由 系：(1)电磁场的运动方程；(2)流密度的存在性； ieAdx"/h替代，也即y由-i流替代。 (3)带电场和电磁场之间的可能的相互作用。我们 魏尔显然接受了y必须为虚数的想法，所以 尝试推广这一概念，将它用于同位旋守恒。问 这一推广带来了非常美妙的非阿贝尔规范场 他在1929年的一篇重要文章中定义了QED中的 规范变换这一概念，并证明了麦克斯韦理论在量 论(non-abelian field theory)。然而，这一理论似乎 要求存在无质量的带电粒子，这些粒子在自然界 子力学的框架下具有规范不变性。 中并没有见到，所以在很长一段时间里，这一理 在任一规范变换下，魏尔的长度伸缩因子应 论在物理学界并没有得到认可。 由如下因子替代 为了给这些无质量粒子以质量，人们在1960 exp(if14d), (7) 年代引进了对称性自发破缺的概念。这一概念带 它显然应该称为“相位变化因子”。通过这一替 来了一系列重大进展，并最终带来一个基于 换，爱因斯坦最初的批评不再成立了。 U(1)×SU(2)×SU(3)群的规范理论，我们今天称 麦克斯韦方程组具有高度的对称性，这个事 之为标准模型(standard model),它描述了电弱相 实在1905一1907年间已经由爱因斯坦和闵可夫斯 互作用和强相互作用。从1960年左右算起，大约 基(Hermann Minkowski)分别认识到，他们发现 50年里，粒子物理领域的众多实验和理论物理学 了麦克斯韦方程组的洛伦兹不变性。魏尔在1929 家们努力验证并发展了此标谁模型，这里既有个 年发现了规范对称性，从而揭示了麦克斯韦方程 人努力，也有集体协作。这些不懈努力获得了炫 组的又一对称性。今天我们已经知道，这些对称 目的成功，最近的一个高潮是2012年希格斯玻色 纳里·43卷(2014年12期 ·785.·43卷 (2014 年) 12 期 魏尔意识到“平行移动”这个概念的重要 性。他论证道：“为了与自然界相符，黎曼几何 必须建立在矢量的无穷小平行移动这一观念 上”。魏尔进一步说，既然在平行移动中，矢量 场的方向不断改变，那为什么不允许它的长度也 改变呢？由此出发，魏尔提出了所谓“noninte￾grable Streckenfacktor( 不 可 积 伸 缩 因 子)” 的 概 念，或者叫“Proportionalitätsfacktor”，它通过如 下公式和电磁场发生联系： exp(-∫eAμdx ) μ /γ ， (5) 在这里 Aμ 是四维矢量势，系数 γ 是实数。魏尔给 在时空中运动的每个带电物体都附加一个伸缩因 子。在魏尔的第二篇文章后爱因斯坦添加了一个 附注，其中爱因斯坦批评了平行移动改变长度的 想法，魏尔未能有力地反驳爱因斯坦的毁灭性 评论。 在量子力学建立后的 1925—1926 年，福克 (Vladimir Fock)和伦敦(Fritz London)独立指出，在 量子力学里，(p－eA)应该由如下公式取代： -iℏæ è ö ø ∂ μ - ie ℏ Aμ ， (6) 这个公式又意味着在方程(5)中， eAμdx μ /γ 应该由 ieAμdx μ /ℏ 替代，也即 γ 由 -iℏ 替代。 魏尔显然接受了 γ 必须为虚数的想法，所以 他在 1929 年的一篇重要文章中定义了 QED 中的 规范变换这一概念，并证明了麦克斯韦理论在量 子力学的框架下具有规范不变性。 在任一规范变换下，魏尔的长度伸缩因子应 由如下因子替代 expæ è ö ø -i e ℏ ∫Aμdx μ ， (7) 它显然应该称为“相位变化因子”。通过这一替 换，爱因斯坦最初的批评不再成立了。 麦克斯韦方程组具有高度的对称性，这个事 实在1905—1907年间已经由爱因斯坦和闵可夫斯 基(Hermann Minkowski)分别认识到，他们发现 了麦克斯韦方程组的洛伦兹不变性。魏尔在1929 年发现了规范对称性，从而揭示了麦克斯韦方程 组的又一对称性。今天我们已经知道，这些对称 性使得麦克斯韦方程组成为理解物理宇宙的结构 的基础支柱。 魏尔的规范变换涉及到时空中的逐点U(1)转 动，或者说复平面上的转动。这一点和麦克斯韦 的转动涡旋有着显著相似。当然，这种相似是个 巧合。 从数学上看，公式(7)中的相位因子形成一个 李群U(1)，而魏尔最喜爱的研究领域之一正是李 群。对背景知识较多的读者，我可以提出一个猜 测：假如纤维丛理论在1929年前就建立了，魏尔 显然会认识到电磁学就是一个 U(1)纤维丛理论， 并且很有可能在那时就把它推广为非阿贝尔规范 理论，因为这正是他1929年的理论的自然延伸。 历史上，这一延伸发生于1954年，并且来自 不同的动机。新的动机并不是基于纯数学上的考 虑。当时粒子物理实验中涌现出越来越多的“奇 异”粒子，因此迫切需要一个原理来描述它们之 间的相互作用。这一物理动机简洁地体现在以下 这个发表于1954年的摘要里： 电荷是电磁场的源；这里有一个名为规范不 变性的重要观念，它与以下几件事物有紧密联 系：(1)电磁场的运动方程；(2)流密度的存在性； (3) 带电场和电磁场之间的可能的相互作用。我们 尝试推广这一概念，将它用于同位旋守恒。[5] 这一推广带来了非常美妙的非阿贝尔规范场 论(non-abelian field theory)。然而，这一理论似乎 要求存在无质量的带电粒子，这些粒子在自然界 中并没有见到，所以在很长一段时间里，这一理 论在物理学界并没有得到认可。 为了给这些无质量粒子以质量，人们在1960 年代引进了对称性自发破缺的概念。这一概念带 来了一系列重大进展，并最终带来一个基于 U (1) × SU(2)× SU(3) 群的规范理论，我们今天称 之为标准模型(standard model)，它描述了电弱相 互作用和强相互作用。从1960年左右算起，大约 50年里，粒子物理领域的众多实验和理论物理学 家们努力验证并发展了此标准模型，这里既有个 人努力，也有集体协作。这些不懈努力获得了炫 目的成功，最近的一个高潮是2012年希格斯玻色 · 785 ·