四章无穷级数 第四章无穷级数 无穷级数,特别是幂级数,是解析函数的最重要的表达形式之 许多初等函数和特殊函数都是用幂级数定义的 复变函数级数理论和实变函数的比较:概念和方法的异同 §4.1复数级数 定义复数级数 u0+1+u2+……+un+ 令un的实部和虚部分别为an与An,则 an+i>Bn n=0 个复数级数∑n完全等价于两个实数级数∑an和∑n,反之亦然 复数级数的收敛和发散如果级数的部分和 Sn=0+u1+u2+…+un 所构成的序列{Sn}收敛,则称级数∑un收敛,序列{Sn}的极限S= lim Sn,称为级数∑ 的和 否则,级数∑n是发散的 级数的收敛性,是用它的部分和序列的收敛性定义的.因此,根据序列收敛的充要条件,可 以写出级数收敛的充要条件— Cauchy充要条件:任意给定ε>0,存在正整数n,使对于任意 正整数p,有 <E 特别是,令p=1,就得到级数收敛的必要条件 ★在不改变求和次序的前提下,可以将收敛级数并项. u1+a2+3+u4+ (1+u2)+(u3+u4)+…￾✁✂ ✄ ☎ ✆ ✝ ✞ 1 ✟ ✠ ✡☛ ☞ ✌ ✍ ✎ ✏✑✒✓✔✕✖✗✘✒✓✔✗✙✚✛✓✜✢✣✤✜✥✦✧★✩✪✫ ✬ ✭✮✯✛✓✰✕✱✛✓✲✗✳✘✒✓✴✵✜✫ ✶✷✛✓✒✓✸✹✰ ✺✷✛✓✜✻✼✽✾✿✰❀❁✜❂ ❃✫ §4.1 ❄ ❅ ❆ ❅ ❇❈ ❉❊❋❊ u0 + u1 + u2 + · · · + un + · · · = X∞ n=0 un. ● un ❍■❏❑▲❏▼◆❖ αn P βn, ◗ X∞ n=0 un = X∞ n=0 αn + iX∞ n=0 βn. ❘❙❉❊❋❊ Pun ❚❯❱❲❳❨❙ ■ ❊❋❊ Pαn ❑ Pβn ✔❩❬❭❪✫ ❫❴❵❴❛❜❝❞❡❢ ❣❤❋❊❍❏▼❑ Sn = u0 + u1 + u2 + · · · + un ✐❥❦❍❧♠ {Sn} ♥♦✔ ◗♣❋❊ Pun ♥♦✔ ❧♠ {Sn} ❍qr S = limn→∞ Sn ✔ ♣❖ ❋❊ Pun ❍❑ X∞ n=0 un = limn→∞ Sn. s ◗✔❋❊ Pun t✉✈❍✫ ❋❊❍♥♦✇✔ t①②❍❏▼❑❧♠❍♥♦✇③④❍ ✫⑤⑥✔⑦⑧❧♠♥♦❍⑨⑩❶❷✔❸ ❹❺❻❋❊♥♦❍⑨⑩❶❷ Cauchy ⑨⑩❶❷✽ ❼❽❾✴ ε > 0 ✔❿➀➁ ➂✓ n ✔➃➄➅❼❽ ➁ ➂✓ p ✔➆ |un+1 + un+2 + · · · + un+p| < ε. ➇ ◆t✔● p = 1 ✔➈➉➊❋❊♥♦❍➋⑩❶❷ limn→∞ un = 0. F ➌➍➎➏➐❑➑❧❍➒➓➔✔❸❹→♥♦❋❊➣↔✫ u1 + u2 + u3 + u4 + · · · = (u1 + u2) + (u3 + u4) + · · ·