§4.1复数级数 如果级数 则称级数∑un绝对收敛.绝对收敛的级数一定是收敛的. +n+2+…n+p|≤|un+1+|un+2|+…+|un+pl 反之,一个收敛的级数,却不一定是绝对收敛的 绝对收敛级数的判别法 ★比较判别法若l<,而∑m收敛,则∑收敛(即∑m绝对收敛 若nl>n,而∑vn发散,则∑|unl发散 ★比值判别法若存在与n无关的常数p,则 当<p<1时,级数∑vn绝对收敛 n=0 >p>1时,级数∑|un发散 n=0 比值判别法的优点:对于许多常用级数,分式αn+1/un的形式往往要比un的形式简 单得多,因此应用比值判别法可以很快地判断∑|un|的收敛性 的存在性? 更方便的当然是使用它的极限形式,即d' Alembert判别法 ★ d'Alembert判别法如果mun+1/an|=l<1,则∑un绝对收敛; 如果lim|un+1/un|=l>1,则∑|an|发散 ·d' Alembert判别法的优点:一般说来,求上下极限总要比求比值判别法中的ρ来得 d'Alembert判别法的缺点:采用不同的标准判别级数的收敛和发散,即用im|un+l/unl 判断级数∑lun|的收敛,而用皿m{un艹1/un判断级数的发散.因此对于 lim un+1/wan|≥1及li{un+1/unl|≤1的情形就不能作出判断,除非 lim un+1/un= lim un+1/un= lim Jun+1/unI n→+ Cauchy判别法的优点就是根据同一判据ⅷm{un1/来判断级数是否绝对收敛 ★ Cauchy判别法如果l|an}mn<1,则级数∑|unl收敛; 如果mmun1/>1,则级数∑un发散§4.1 ↕ ➙ ➛ ➙ ➜ 2 ➝ F ❣❤❋❊ P∞ n=0 |un| ♥♦✔ ◗♣❋❊ P∞ n=0 un ➞➟♥♦✫ ➞➟♥♦ ❍ ❋❊❘③t♥♦❍ ✫ |un+1 + un+2 + · · · un+p| ≤ |un+1| + |un+2| + · · · + |un+p|. ❩❬✔❘❙♥♦❍ ❋❊✔➠➍❘③t➞➟♥♦❍ ✫ F ➞➟♥♦❋❊❍➡◆➢✫ F ➤➥➦➧➨ ➩ |un|<vn ✔➫ P∞ n=0 vn ♥♦✔ ◗ P∞ n=0 |un| ♥♦ ￾ ➭ P∞ n=0 un➞➟♥♦
✫ ➩ |un| > vn, ➫ P∞ n=0 vn ✉✈✔ ◗ P∞ n=0 |un| ✉✈✫ F ➤➯➦➧➨ ➩➲➌P n ➳➵❍➸❊ ρ ✔ ◗ ➺    un+1 un    < ρ < 1 ➻✔❋❊ P∞ n=0 un ➞➟♥♦➼ ➺    un+1 un    > ρ > 1 ➻✔❋❊ P∞ n=0 |un| ✉✈✫ • ✻➽➾✖❁✜➚➪✽➄➅✬ ✭➶✳✒✓✔➹★ |un+1/un| ✜✧★➘➘✤✻ un ✜✧★ ➴ ➷➬ ✭✔➮➱✃✳✻➽➾✖❁❐ ❒❮❰Ï➾Ð P|un| ✜ÑÒÓ✫ • ρ ✜❿➀Ó Ô • Õ❀Ö✜ ×Ø✗➃✳Ù✜ÚÛ✧★✔Ü d’Alembert ➾✖❁✫ F d’Alembert ➦➧➨ ❣❤ limn→∞ |un+1/un| = l < 1, ◗ P∞ n=0 un ➞➟♥♦➼ ❣❤ lim n→∞ |un+1/un| = l > 1, ◗ P∞ n=0 |un| ✉✈✫ • d’Alembert ➾✖❁✜➚➪✽✪ÝÞß✔àáâÚÛã✤✻à✻➽➾✖❁ ä✜ ρ ß➬ ➴ ➷✫ • d’Alembert ➾✖❁✜å➪✽æ✳ç ❃✜èé➾✖✒✓✜ÑÒ✰êë✔Ü✳ limn→∞ |un+1/un| ➾ Ð ✒ ✓ P∞ n=0 |un| ✜ Ñ Ò ✔ì ✳ lim n→∞ |un+1/un| ➾ Ð ✒ ✓ ✜ ê ë ✫➮ ➱ ➄ ➅ limn→∞ |un+1/un| ≥ 1 í lim n→∞ |un+1/un| ≤ 1 ✜î✧ïçðñ ò➾Ð✔ó ô limn→∞ |un+1/un| = lim n→∞ |un+1/un| = limn→∞ |un+1/un|. • Cauchy ➾✖❁✜➚➪ï✗õö ❃✪➾ö limn→∞ |un| 1/n ß➾Ð✒✓✗÷ø➄ÑÒ✫ F Cauchy ➦➧➨ ❣❤ limn→∞ |un| 1/n < 1, ◗ ❋❊ P∞ n=0 |un| ♥♦➼ ❣❤ limn→∞ |un| 1/n > 1, ◗ ❋❊ P∞ n=0 un ✉✈✫