《线性代数》第四章习题解答 (-122) 7.设A2-1-2,求A及E+A的特征值。 2-2-1 2+1-2-2 解.2E-A=-2元+12=(a+1)(元+7（元-1） -221+1 则A的特征值为X1=-7,入=-1，X=1,A的特征值为： -,1,1,fA)=AE的特征值为乡，0,2。 8.证明n阶矩阵A与AT有相同的特征值。 证：∫()=E-A'=kE-0|=E-A=x) 所以A与AT有相同的特征多项式，则必有相同的特征值。 9.已知四阶方阵A的特征值为A=3(二重)，入=-1（二重），求rA及detA。 解TA=3+3-1-1=4 detA=3×3×3(1)x(←1)=-9 10.设入=2是A的特征值，求42-3A+2E 解：由题设知2E-A=0,则 A2-3A+2E=(A-2E(A-E=2E-4AE-A-0 11.已知三阶矩阵A的特征值为1，-1,2，设矩阵B=A3.5A3,试求B及A-5E 解.B=fA=A35A2,f入)=入35A3 A的特征值为1，-1,2，则B的特征值为-4,6，-12 所以B(-4-6-12288 又M2=1y12·2-4B-44-5E 则4-5月=月=举=2 12.设A为四阶方阵，且3E+A=0,AA=2E,A<0,求伴随矩阵A的一个特征值。 解据A为四阶方阵，且3E+A=0, 由3E+-(1)卜3E-A=上3E-=0,可知A的一个特征值为-3。 6 《线性代数》第四章习题解答 6 7. 设 A=           − − − − − 2 2 1 2 1 2 1 2 2 ,求 A 及 E+A-1 的特征值。 解. E − A = 2 2 1 2 1 2 1 2 2 − + − + + − −    = ( +1) (  + 7 )(  −1 ) 则 A 的特征值为λ1=-7,λ2=-1，λ3=1, A-1 的特征值为： - 7 1 , -1, 1, f(A-1 )=A-1 +E 的特征值为 7 6 ，0，2 。 8．证明 n 阶矩阵 A 与 AT有相同的特征值。 证： f E A E A E A T T A T () =  − = ( − ) =  − =fa(λ) 所以 A 与 AT有相同的特征多项式，则必有相同的特征值。 9. 已知四阶方阵 A 的特征值为λ=3（二重），λ=-1（二重），求 trA 及 detA。 解. TrA=3+3-1-1=4 detA= 333(−1)(−1) =9 10.设λ=2 是 A 的特征值，求 A 3A 2E 2 − + . 解： 由题设知 2E − A =0 ， 则 A 3A 2E 2 − + .= (A− 2E)(A− E) = 2E − A E − A =0 11． 已知三阶矩阵 A 的特征值为 1，-1，2，设矩阵 B=A3 -5A2，试求 B 及 A−5E . 解. B=f(A)=A3 -5A2 , f(λ)=λ3 -5λ2 , A 的特征值为 1，-1，2，则 B 的特征值为-4，-6，-12 所以 B =(-4)(-6)(-12)=-288 又 2 A =(-1)2·1 2·2 2 =4 B = 2 A A−5E 则 A−5E = 2 A B = 4 −288 =-72 12．设 A 为四阶方阵，且 3E + A = 0，AAT=2E , A <0,求伴随矩阵 A*的一个特征值。 解.据 A 为四阶方阵，且 3E + A = 0， 由 3E + A =(-1)4 − 3E − A = − 3E − A = 0 ，可知 A 的一个特征值为-3