《线性代数》第四章习题解答 据AA=2E,4<0,由A4=AA=4,2E=2E=16 得A=16,取A=-4,故A=4A=-4A A的一个特征值为3，则A的一个特征值为-，从而A的一个特征值为(-4)(-青)=专 13.设非零向量a=(a,a2…an,B=(么b2…bnY满足aTB=0且n阶方阵A=aB',求(1) A3,(2)A的特征值与特征向量。 解.(1)因为aTB=0,A=aB', 则 A2=(a B)(a B')=a(B'a)B'=(B'a)(a B) =(aB)(aB)=0·A=0 (2)设AX=X,X≠0，则AX=X 另一方面A2X=0X-0,故1X=0,由X≠0，得入=0，即A的特征值均为零。 a 0E-A=(-A)=-a BT=- :k6…b a.) a,ba,b2…a,bn）(bb…bn a,bab3…a,bn 00…0 … abab…abn0000 即得b1x1+b2x++bX=0,因为B是非零向量，设b1≠0，则基础解系 (- - 0 =0,=1 …，P-=0 (0J (0 所以A的全部特征向量为kP1+kP++kPn,(k,k2…,ka1不全为零)。 14.证明 (I)若A-B,则ATB: (2)若A可逆，则ABBA 证(1)因为A~B,则存在可逆矩阵P,使PAP=B, 从而pAPy=B,取Q(Py,则QAQ-B,显然Q可逆，得证 (2)因为A可逆，则(AAB)A-BA,依定义ABBA 15.设ABCD,试证A0）B0) 1《线性代数》第四章习题解答 7 据 AAT=2E , A <0, 由 2 AA A A A T T = = , 2 2 16 4 E = E = 得 16 2 A = ，取 A =-4，故 A*= A A-1=-4A-1 A 的一个特征值为-3，则 A-1 的一个特征值为 3 1 − ，从而 A*的一个特征值为（-4）（ 3 1 − ）= 3 4 . 13. 设非零向量α=( ) T a1 a2  an ,β= ( ) T b1 b2  bn 满足αTβ=0 且 n 阶方阵 A=αβT，求（1） A2， （2）A 的特征值与特征向量。 解.（1）因为αTβ=0, A=αβT， 则 A2=(αβT ) (αβT )= α(βTα)βT =(βTα)(αβT ) = (αβT )(αβT )=0·A=0 （2） 设 AX=λX , X≠0, 则 A2X=λ2X, 另一方面 A2X=0X=0，故λ 2X=0 ，由 X≠0,得λ=0, 即 A 的特征值均为零。 0E-A=(-A)=-αβT =- ( ) n n b b b a a a   1 2 2 1               =-               n n n n n n a b a b a b a b a b a b a b a b a b        1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 →               0 0 0 0 0 0 0 1 2      b b  bn 即得 b1x1+b2x2+…+bnxn=0，因为β是非零向量，设 b1≠0, 则基础解系                − = 0 0 1 1 2 1  b b P ,                − = 0 1 0 1 3 2  b b P , … ,                − − = 1 0 0 1 1  b b n n P 所以 A 的全部特征向量为 k1P1+k2P2+…+kn-1Pn-1，（k1, k2,, …, kn-1 不全为零）。 14.证明 （1）若 A~B，则 AT~BT； （2）若 A 可逆，则 AB~BA 证（1） 因为 A~B，则存在可逆矩阵 P，使 P -1AP=B， 从而 P TAT (PT ) -1=BT，取 Q=(PT ) -1，则 Q-1ATQ=BT， 显然 Q 可逆，得证。 （2）因为 A 可逆，则(A-1 )(AB)A=BA，依定义 AB~BA。 15．设 A~B,C~D，试证         C A 0 0 ~         D B 0 0