这就是方程组(8)的一般解，其中x,是自由未知量 从这个例子看出，一般线性方程组化成阶梯形，不一定就是(5)的样子，但是只要把方程组中的某些 项调动一下，总可以化成(5)的样子 应该看到，r>n的情形是不可能出现的. 以上就是用消元法解线性方程组的整个过程总起来说就是首先用初等变换化线性方程组为阶梯 形方程组，把最后的一些恒等式"0=0”（如果出现的话）去掉如果剩下的方程当中最后的一个等式是零 等于一非零的数，那么方程组无解，否则有解.在有解的情况下，如果阶梯形方程组中方程的个数”等于 未知量的个数，那么方程组有唯一的解：如果阶梯形方程组中方程的个数”小于未知量的个数，那么方程 组就有无穷多个解 定理1在齐次线性方程组 a+azx+.+amxn=0, a+a2x2+.+a2nxn=0 a,x+az2+.+anxn=0 中，如果5<n,那么它必有非零解 证明 显然，方程组在化成阶梯形方程组之后，方程 的个数不会超过原方程组中方程的个数，即 r≤s<n.由r<n得知，它的解不是唯一的，因而必有非零解 矩阵 aa2.anb a1a2.anb (10) 444小4.044. a1a2.amb 称为线性方程组(1)的增广矩阵显然，用初等变换化方程组(1)成阶梯形就相当于用初等行变换化增广 矩阵(10成阶梯形矩阵因此，解线性方程组的第一步工作可以通过矩阵来进行，而从化成的阶梯形矩阵 就可以判别方程组有解还是无解，在有解的情形，回到阶梯形方程组去解 例解 2x-+3x=1 4x-2x3+5x3=4, 2x-2+4x=0, 对它的增广矩阵作初等行变换 2-131)2-1312-131 4-254→00-12→00-12 2-140(001-10001 从最后一行(0001)可以看出原方程组无解 作业：P152,习题1之3). 预习：下一节的基本概念这就是方程组(8)的一般解,其中 2 x 是自由未知量. 从这个例子看出,一般线性方程组化成阶梯形,不一定就是(5)的样子,但是只要把方程组中的某些 项调动一下,总可以化成(5)的样子. 应该看到,r n  的情形是不可能出现的. 以上就是用消元法解线性方程组的整个过程.总起来说就是,首先用初等变换化线性方程组为阶梯 形方程组,把最后的一些恒等式 "0 0" = (如果出现的话)去掉.如果剩下的方程当中最后的一个等式是零 等于一非零的数,那么方程组无解,否则有解.在有解的情况下,如果阶梯形方程组中方程的个数 r 等于 未知量的个数,那么方程组有唯一的解;如果阶梯形方程组中方程的个数 r 小于未知量的个数,那么方程 组就有无穷多个解. 定理 1 在齐次线性方程组 11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 1 1 2 2 0, 0, 0 n n n n s s sn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x  + + + =   + + + =     + + + = 中,如果 s n  ,那么它必有非零解. 证明 显然,方程组在化成阶梯形方程组之后,方程的个数不会超过原方程组中方程的个数,即 r s n   .由 r n  得知,它的解不是唯一的,因而必有非零解. 矩阵 11 12 1 1 21 22 2 2 1 2 n n s s sn s a a a b a a a b a a a b             (10) 称为线性方程组(1)的增广矩阵.显然,用初等变换化方程组(1)成阶梯形就相当于用初等行变换化增广 矩阵(10)成阶梯形矩阵.因此,解线性方程组的第一步工作可以通过矩阵来进行,而从化成的阶梯形矩阵 就可以判别方程组有解还是无解,在有解的情形,回到阶梯形方程组去解. 例 解 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 3 1, 4 2 5 4, 2 4 0. x x x x x x x x x  − + =   − + =   − + = 对它的增广矩阵作初等行变换, 2 1 3 1 2 1 3 1 2 1 3 1 4 2 5 4 0 0 1 2 0 0 1 2 2 1 4 0 0 0 1 1 0 0 0 1       − − −       − → − → −                   − − 从最后一行 (0 0 01) 可以看出原方程组无解. 作业: P152,习题 1 之 3). 预习: 下一节的基本概念