z11a. nb 定解问题:三维 a2 vou=0 n(≠,0)=(),u,0)=O三维情况对应于 Poisson公式 ar I a(x,0)=y(x),u(x,0)=(x) 维情况有D' Alembert公式 解:对产做三维 Fourier变换,在 Fourier空间,定解问题化为 叫 10)= A(k) cos akt+B()sin akt 其中k= 叫10)=9(,(0=正 由初条定出 sinai 做反 Fourie变换,因为l1与h2均为两个的函数的乘积,反变换必然是一些卷积。下逐项计算 [sinal 1 cc ceak-ela 2ikedkrcose k2 dkdcosedg (其中:a=at) k(2丌)3 eiak-eiak(ekr-e kdk (2r)3 2ik 2n2-=- (2xr2(ef(a+n&+e-i(a+nk-el Mo-n -e-ido-nkr)dK o(r+a)-6(r-a) 4丌r 6(r-a)=f(P) 其中利用了:c)dk=2or±a)及:r=≥0,a=at≥0故:br+a)=0 v sinar -2]=-1 M()F-r)dT 萨-P1-a)df eiakte-iak f-cos akl eikrcosek2 dkdcos edo (其中:a (2n)3 giak+e-iak(elkr-e-ikr) sdk 2nR 2(eak+eta)(elkr-e-ikr)ikk (e+n)k+c(+)k-c-)-e-4-n)k) =?(思考:如何 Fourier变换的利用微分定理) 另辟捷径: cosats a rsin kat I a d(r-ar =g(),这里偏导是指求导时a,k视为常量 atl ka 傅氏变换是对进行的.注意因为有6-a0因子,不再独立于A,不能移到求导算符2之外定解问题 ：三维： utt - a2 ∇2 u = 0 ur  , 0 = φ(r )，utr  , 0 = ψ(r ) 三维情况对应于 Poisson公式 一维： utt - a2 uxx = 0 u(x, 0) = φ(x)，ut(x, 0) = ψ(x) 一维情况有 D’Alembert 公式 解：对 r  做三维Fourier变换 ，在Fourier空间，定解问题化为 u  ttk, t + a2 k2 u  k, t = 0 u  k, 0 = φ  (k)，u  tk, 0 = ψ  (k) ⟹ u  k, t = A(k) cos a k t + B(k)sin a k t u  k, 0 = φ  (k)，u  t k, 0 = ψ  (k) ， 其中 k = k。 由初条定出 A(k) , B(k)： u  k, t = φ  (k) cos a k t I1 + ψ  (k) k a sin a k t I2 做反Fourier变换 ，因为 I1 与 I2 均为两个 k 的函数的乘积 ，反变换必然是一些卷积 。下逐项计算 。 ℱ-1 sin α k k = 1 (2 π)3     α k - - α k 2  k  k r cos θ k2 k cos θ ϕ 3k  （其中：α = a t） = 2 π (2 π)3 0 ∞  α k - - α k 2  k  k r - - k r   k r k2 k = - 1 (2 π) 2 1 2 r 0 ∞  α k - - α k  k r - - k r  k = - 1 (2 π)2 1 2 r 0 ∞  (α+r) k + - (α+r) k - k(α- r) --(α-r) k r k = - 1 4 π r [δ(r + α) -δ (r - α)] = 1 4 π r δ(r - α) ⟹ ℱ-1 sin α k k = 1 4 π r δ (r - α) = f (r ) 其中利用了 ：-∞ ∞  k(r±α) k = 2 π δ(r ± α) 及：r = r   ≥ 0, α = a t ≥ 0 故：δ(r + α) = 0 ℱ-1[I2] = ℱ-1 ψ  (k) a sin a k t k = 1 a    ψ(r ′ ) f r  -r ′  3 r ′ = 1 4 π a    ψ(r ′ ) r  -r ′  δr  -r ′  - a t 3 r ′ ℱ-1[cos α k ] = 1 (2 π)3     α k + - α k 2  k r cos θ k2 k cos θ ϕ 3k  （其中：α = a t） = 2 π (2 π)3 0 ∞  α k + - α k 2  k r - - k r  k r k2 k = - 1 (2 π)2 1 2 r 0 ∞  α k + - α k  k r - - k r  k k = - 1 (2 π)2 1 2 0 ∞  (α+r) k + - (α+r) k - k(α- r) --(α-r) k r  k r k = ? （思考： 如何Fourier变换的利用微分定理 ） 另辟捷径 ：cos a t k = ∂ ∂ t sin k a t k a ⟷ 1 4 π a ∂ ∂ t δ(r - a t) r = g(r ), 这里偏导是指求导时 a, k 视为常量 傅氏变换是对 r  进行的。注意因为有 δ(r - a t) 因子，r 不再独立于 t，不能移到求导算符 ∂ ∂ t 之外。 z11a.nb 9