10 z11anb () d3r注意这里芦是积分 与t无关 1 a 4丌aot, 小=+1以|r表示对整个空间的积分 物理意义:看产=0处的振动,假设初始扰动仅局限于空间某一区域V0之内,如图所示 区距原点r=0最近的距离为d, 最远的距离为D。以原点为球心 d和D为半径作两球面S和SD 初始扰动φ(r)和ψ(P)局限于V之内 g()和(P)仅在d≤r≤D才不为0 由矶,小的表达式: (0,D)= 8(-andp+ andr 积分对整个空间进行 现观察某一时刻t在=0处的振动: <d/a时,被积函数中的δ函数要求仅在r=at积分才不为0, 但r=at时,有 故在t<d/a时,u(0,0为0。 t>D/a时,一方面,被积函数中的函数要求仅在r=at积分才不为 另一方面,r=at时,r=at>D,r<D时()和(F)均为0。 仅在d/a<【<D/a时,a0,n才不为0。也就是说,位于V区域的扰动 以速度a传播,太早了,扰动尚未传到达=0处,太迟了,扰动“已乘黄鹤去”。 令:dBr=dSdr,叫P,小可改写为 小= ds+ Poisson公式 4 talat小sat Sa表明积分仅在以为球心,at为半径的球面上进行。这就是三维空间的自由振动问题的解 换言之,要看萨处在t时刻是否有振动,仅需以产为球心,at为半径做球面, 若球面经过以F)或)不为0的区域,则,小≠0,否则(P,小=0。 物理意义 1.t时刻产处的振动是由以产为球心,at为半径的球面上在t=0时刻的扰动传来的 波以速度a传播。 2.假设初始时刻 g(7)仅在以R为半径厚度为2d的薄球壳上的某一立体角上为常数4,其余为0 则:仅在R-d≤at≤R+d时,在=0处的振动才不为0,这时 a p(at, n) (aodn (ara0o9)=—l0 4a at Jsat at 4丌aatℱ-1[I1] = ℱ-1 φ  (k) cos a k t = 1 4 π a    φ(r ′ ) gr  -r ′  3 r ′ = 1 4 π a    φ(r ′ ) ∂ ∂ t δr  -r ′  - a t r  -r ′  3 r ′ 注意这里 r ′ 是积分变量 ，与 t 无关 = 1 4 π a ∂ ∂ t    φ (r ′ ) r  -r ′  δr  -r ′  - a t 3 r ′ ur , t = ℱ-1[I1] + ℱ-1[I2] 以 V∞ 3 r ′ 表示对整个空间的积分 = 1 4 π a ∂ ∂ t V∞ φ (r ′ ) r  -r ′  δr  -r ′  - a t 3 r ′ + V∞ ψ(r ′ ) r  -r ′  δr  -r ′  - a t 3 r ′ 物理意义 ：看 r  = 0 处的振动 ，假设初始扰动仅局限于空间某一区域 V0 之内，如图所示 V0 区距原点 r  = 0 最近的距离为 d， 最远的距离为 D。以原点为球心 ， d 和 D 为半径作两球面 Sd 和 SD。 初始扰动 φ(r ′ ) 和 ψ(r ′ ) 局限于 V0 之内， φ(r ′ ) 和 ψ(r ′ ) 仅在 d ≤ r′ ≤ D 才不为 0。 d V0 r ′ D 由 ur , t 的表达式 ： u(0, t) = 1 4 π a ∂ ∂ t V∞ φ (r ′ ) r′ δ(r′ - a t) 3 r ′ + V∞ ψ(r ′ ) r′ δ(r′ - a t) 3 r ′ —— 积分对整个空间进行 。 现观察某一时刻 t 在 r  = 0 处的振动 ： t < d /a 时, 被积函数中的 δ 函数要求仅在 r′ = a t 积分才不为 0， 但 r′ = a t 时，有 r′ = a t < d ，而 r′ < d 时 φ(r ′ ) 和 ψ(r ′ ) 均为 0。 故在 t < d/ a 时，u(0, t) 为 0。 t > D/a 时, 一方面，被积函数中的 δ 函数要求仅在 r′ = a t 积分才不为 0， 另一方面 ，r′ = a t 时，r′ = a t > D， r′ < D 时 φ(r ′ ) 和 ψ(r ′ ) 均为 0。 故在 t > D/a 时，u(0, t) 为 0。 仅在 d/a < t < D/a 时，u(0, t) 才不为 0。也就是说，位于 V0 区域的扰动 ， 以速度 a 传播，太早了，扰动尚未传到达 r  = 0 处 ，太迟了，扰动 “已乘黄鹤去 ”。 令：3 r ′ = S′ r′ , ur  , t 可改写为 ur , t = 1 4 π a ∂ ∂ t Sat φ (r ′ ) a t S′ + Sat ψ(r ′ ) a t S′ —— Poissson 公式 Sat 表明积分仅在以 r  为球心，a t 为半径的球面上进行 。这就是三维空间的自由振动问题的解 。 换言之，要看 r  处在 t 时刻是否有振动 ，仅需以 r  为球心，a t 为半径做球面 ， 若球面经过 φ(r ′ ) 或 ψ(r ′ ) 不为 0 的区域，则 ur , t ≠ 0，否则 ur  , t = 0。 物理意义 ： 1. t 时刻 r  处的振动是由以 r  为球心，a t 为半径的球面上在 t = 0 时刻的扰动传来的 —— 波以速度 a 传播。 2. 假设初始时刻 ： ψ(r ′ ) = 0, φ(r ′ ) 仅在以 R 为半径厚度为 2 d 的薄球壳上的某一立体角 δΩ 上为常数 u0，其余为 0 则：仅在 R - d ≤ a t ≤ R + d 时，在 r  = 0 处的振动才不为 0，这时 ur , t  r  =0 = 1 4 π a ∂ ∂ t Sat φ (r ′ ) a t S′ = 1 4 π a ∂ ∂ t Sat φ(a t, Ω) a t (a t)2 Ω = 1 4 π a ∂ ∂ t (a t u0 δΩ) = δΩ 4 π u0 10 z11a.nb