提示:应用柯西中值定理。 8.设f(x)在(-∞,+∞)可导,且f(x)≤k<1,任给xo,令 ∫(xn)(n=0,1,2,……), 求证 (1) lim Tn存在; (2)上述极限为x=f(x)的根,且是唯一的 提示:(1)应用柯西收敛原理。注意到vm,p>0,有 In+i-EnI= f(an)-f(In-1) f′(n)(xn-xn-1)(5n在xn和xn-1之间) 从而有 p- nl =l(nti 1)+…+(xn+2-xn+1) ≤|xn+p-xn+p-1|+…+|xn+2-xn+1 ≤(k ntp- n+)lC1-Tol 1-k §4再论闭区间上连续函数的性质 1.设f(x)在a,上连续,并且最大值点xo是唯一的,又设xn∈{a, 使limf(xn)=f(xo),求证 lim r=x0 3提示：应用柯西中值定理。 8．设f(x) 在(−∞, +∞) 可导，且|f 0 (x)| 6 k < 1 ，任给x0 ，令 xn+1 = f(xn)(n = 0, 1, 2, · · ·), 求证: (1) limx→∞ xn存在； (2) 上述极限为x = f(x) 的根，且是唯一的． 提示：(1) 应用柯西收敛原理。注意到∀n, p > 0, 有 |xn+1 − xn| = |f(xn) − f(xn−1)| = |f 0 (ξn)(xn − xn−1)| (ξn在xn和xn−1之间) ≤ k|xn − xn−1| ≤ k 2 |xn−1 − xn−2| ≤ · · · ≤ k n |x1 − x0| 从而有 |xn+p − xn| = |(xn+p − xn+p−1) + · · · + (xn+2 − xn+1)| ≤ |xn+p − xn+p−1| + · · · + |xn+2 − xn+1| ≤ (k n+p−1 + · · · + k n+1)|x1 − x0| ≤ k n+1(1 − k p ) 1 − k ≤ k n+1 1 − k . §4 再论闭区间上连续函数的性质 1．设f(x) 在[a, b] 上连续，并且最大值点x0 是唯一的，又设xn ∈ [a, b] ，使 limn→∞ f(xn) = f(x0) ，求证 limn→∞ xn = x0 3