提示:利用2习题6的结论。 3.设f(x)在a,b连续,f(a)<0,f(b>0),求证:存在∈(a,b), 使f(5)=0,且f(x)>0(5<x≤b) 提示:设 A={xr∈[a,列,当t∈(t,列时,有f()>0} 则集合A非空且有下界。利用确界原理知A有下确界,再证明这个下确界 即为所求的 5可积性 判断下列函数在区间0,1上的可积性: (1)f(x)在0,1上有界,不连续点为x=是(n=1,2,…); 提示:利用的收敛性。 3.设f(x),(x)都在{a,上可积,证明: M(r)=max(f(a), g(a)), m(a)= min((a), g(a)) 在,上也是可积的 提示 max(f(a), g()) (f(x)+g(x)+|f(x)-9(x) min(f(x),y(2)(f(x)+g(x)-|f(x)-9(x) 8.若函数f(x)在[A,B可积,证明 lim/If(a+h)-f(r)ld. =0,提示：利用§2习题6的结论。 3．设f(x) 在[a, b] 连续，f(a) < 0, f(b > 0) ，求证：存在ξ ∈ (a, b) ， 使f(ξ) = 0 ，且f(x) > 0(ξ < x 6 b). 提示：设 A = {x|x ∈ [a, b],当t ∈ (t, b]时,有f(t) > 0} 则集合A非空且有下界。利用确界原理知A有下确界，再证明这个下确界 即为所求的ξ. §5 可积性 1．判断下列函数在区间[0, 1] 上的可积性： (1) f(x) 在[0, 1] 上有界，不连续点为x = 1 n (n = 1, 2, · · ·) ； 提示：利用1 n的收敛性。 3．设f(x), g(x) 都在[a, b] 上可积，证明： M(x) = max(f(x), g(x)), m(x) = min(f(x), g(x)) 在[a, b] 上也是可积的． 提示： max(f(x), g(x)) = (f(x) + g(x)) + |f(x) − g(x)| 2 min(f(x), g(x)) = (f(x) + g(x)) − |f(x) − g(x)| 2 8．若函数f(x) 在[A, B] 可积，证明： lim h→0 Z b a |f(x + h) − f(x)|dx = 0, 4