822 系统工程理论与实践 第33卷 其次，根据该方法的逆向推导特征，计算最后执行点的期权价值函数.由于该产品在最后一期必定执行， 所以，该时间点处的期权持有价值为零；那么，其执行价值就等于期权价值函数，即，Vm=Z(Xm)= VNC(Tmj)-=0j=1,2,.,N. 第三，运用逆向递推方法，当i=m-1,m-2,·,1,0,我们仅考虑n条路径中实值路径，假设已知i时 刻之后最优执行策略点n的执行价值为Z,(X,n)=VC(T,n)-,,n代表实值路径。以此数值在i 时刻的贴现值利用SVD回归方法计算回归系数，即： A=ag牌2(）-屁.Xy识， iE 其中，I表示实质路径，亚为相应时点实值路径处由基本函数所组成的多项式.再利用上述求得的系数求出 持有价值并与该时刻的执行价值进行大小比较，选取最大值作为该处时间点的期权价值.该动态迭代过程即 可写成以下公式： 最后，按照上述计算方法，在每一条路径上，都从m一1一直逆推到第一个可执行点，然后将各条路径的 最后值加总求平均，即可得该衍生证券的理论价值： N Ci(Toj) C1(0)= (10) 1+△F0,0,To) 7=1 4.2基本函数的确定 Longstaff和Schwartzl18l在其文章中提出了一个收敛逼近准则：随着路径数量的增加，该方法计算的所 得结果将逼近于真实值，即： (11) =1 其中，M为有限个基本函数数量，而ε代表任意小的值.我们用此方法确定最为合适的基本函数类型和数量. fn(a)表示基本函数的名称，其基本形式为：fn(a)=d∑m=oCm9m(,n≥0. 根据Abramowitz和Stegun提出的上述多项式之间的关系，本文主要考虑Wn(x)、Pn(x以、Ln(z)、Hen、 Tn(z).另外，Longstaff和Schwartzl18提出傅里叶序列效果较好，但是该文所定价的产品是以无风险测度下 的股票价格为标的资产的，那么其是否在外汇结构性存款中也最好呢？所以本文在上述几个多项式的基础上， 将傅里叶序列加入比较组，并利用上述文章中介绍的最小二乘蒙特卡罗方法，在一定数量基本函数的基础上， 选择出使可提前赎回权达到最大值的基本函数 4.3价值函数逆向迭代方法 利用上述方法求出最佳基本函数，并运用到价值函数逆向迭代方法，实现可提前赎回权价值最佳定价结 果 首先，与最小二乘定价方法相同，利用以上公式，模拟出N条独立的资产价格变动路径{j,F,·,F}, j=1,2,·,N表示路径条数，而m表示该百慕大式衍生证券在相应路径所能够执行的时间点 其次，根据该方法逆向推导特征，计算最后执行点期权价值函数.由于该产品在最后一期必定执行，所以 该时间点的期权持有价值为零，那么其执行价值就等于期权价值函数，即： nj=2m(Xmj)=VNC(Tnj)-B(m)0.1.2.N (12) 第三，与最小二乘蒙特卡罗选择实值路径不同，在此方法中考虑所有路径V,假设已知时刻i+1的价值 函数为C(T+1)),j=1,2,…,N,以此数值在i+1时刻的贴现值利用SVD回归方法计算回归系数，即： N B防=arg mi地(C(Ti+1i）-f.业4(X)2 (13) B:∈Rd i=1 其中，亚(X)为相应时点实值路径处由基本函数所组成的多项式.再利用求得系数求出持有价值与该时刻 的执行价值进行大小比较，选取最大值作为该处时间点的期权价值。 最后，按照上述计算方法，在每一条路径上，都从m一1一直逆推到第一个可执行点，然后将各条路径的 最后值加总求平均，即可得该衍生证券的理论价值： C(To） C1(0)= (14) 1+△F(0,0,To) 万方数据822 系统工程理论与实践 第33卷 其次，根据该方法的逆向推导特征，计算最后执行点的期权价值函数．由于该产品在最后一期必定执行， 所以，该时间点处的期权持有价值为零；那么，其执行价值就等于期权价值函数，即，‰f=Zm(x。J)= ∥u(％j)一丽b=o，J=1川2一，Ⅳ． 第三，运用逆向递推方法，当i=m一1，m一2，…，1，0，我们仅考虑n条路径中实值路径，假设已知i时 刻之后最优执行策略点n的执行价值为zt(墨，。)=VⅣc(耳，。)一百了每J，佗代表实值路径．以此数值在i 时刻的贴现值利用SVD回归方法计算回归系数，即： 屈=arg恕∑(z(％)一fli‘Ⅲ“(x玎))2， ”…iEJ 其中，J表示实质路径，Ⅲ8为相应时点实值路径处由基本函数所组成的多项式．再利用上述求得的系数求出 持有价值并与该时刻的执行价值进行大小比较，选取最大值作为该处时间点的期权价值．该动态迭代过程即 可写成以下公式： 最后，按照上述计算方法，在每一条路径上，都从m一1一直逆推到第一个可执行点，然后将各条路径的 最后值加总求平均，即可得该衍生证券的理论价值： ，N n rm＼ ＼ ／ C1(0)-(∑瓦‰)／Ⅳ (1 0) 4．2基本函数的确定 Longstaff和Schwartz[18】在其文章中提出了一个收敛逼近准则：随着路径数量的增加，该方法计算的所 得结果将逼近于真实值，即： rl 1 N ] 0骢Prmx)一亩LSM(M，x)1>El-0 (11) 其中，M为有限个基本函数数量，而E代表任意小的值．我们用此方法确定最为合适的基本函数类型和数量． ^x)表示基本函数的名称，其基本形式为：^x)=d。∑篇：o crag。(z)，n≥0． 根据Abramowitz和Stegun提出的上述多项式之间的关系，本文主要考虑啊。(z)、R(z)、L。(z)、日e。、 ％(z)．另外，Longstaff和Schwartz[18】提出傅里叶序列效果较好，但是该文所定价的产品是以无风险测度下 的股票价格为标的资产的，那么其是否在外汇结构性存款中也最好呢?所以本文在上述几个多项式的基础上， 将傅里叶序列加入比较组，并利用上述文章中介绍的最小二乘蒙特卡罗方法，在一定数量基本函数的基础上， 选择出使可提前赎回权达到最大值的基本函数． 4．3价值函数逆向迭代方法 利用上述方法求出最佳基本函数，并运用到价值函数逆向迭代方法，实现可提前赎回权价值最佳定价结 果． 首先，与最小二乘定lfr；Y法相同，利用以上公式，模拟出Ⅳ条独立的资产价格变动路径{F1J，F2j，…，j南) J=1，2，…，Ⅳ表示路径条数，而m表示该百慕大式衍生证券在相应路径所能够执行的时间点． 其次，根据该方法逆向推导特征，计算最后执行点期权价值函数．由于该产品在最后一期必定执行，所以 该时间点的期权持有价值为零，那么其执行价值就等于期权价值函数，即： ‰厂‰(x。J)=V川G(％J)一斋=0，J=1川2一，N (12) “＼1m，， 第三，与最小二乘蒙特卡罗选择实值路径不同，在此方法中考虑所有路径Ⅳ，假设已知时刻i+1的价值 函数为C1(丑冲11j)，J=1，2，…，Ⅳ，以此数值在i+1时刻的贴现值利用SVD回归方法计算回归系数，即： 旦 一 成=arg—甄∑(c1(丑冲1)J)一p；+Ⅲ“(x巧))2 (13) ’…‘i=1 其中，Ⅲ4(xij)为相应时点实值路径处由基本函数所组成的多项式．再利用求得系数求出持有价值与该时刻 的执行价值进行大小比较，选取最大值作为该处时间点的期权价值． 最后，按照上述计算方法，在每一条路径上，都从m一1一直逆推到第一个可执行点，然后将各条路径的 最后值加总求平均，即可得该衍生证券的理论价值： c邶，=(姜蒜)／Ⅳ (14) 万方数据