252 高等数学重点难点100讲 第68讲定积分应用(3) 、求变力所作的功 设物体(或质点)在变力F(x)的作用下,沿直线(一般选为x轴)运动,则物体(或质点) 从x=a移至x=b(a<b)的一段距离上变力F(x)所作的功为 F(x)dx 其中F(x)dx是[a,b]上相应于任一小区间[x,x+dx]上的功元素,即dW=F(x)dx 例1设物体按规律x=cr3作直线运动,媒体阻力与物体运动的速度成正比,试求物体 从x=0移至x=a时克服媒质阻力所作的功 解选物体运动的直线为x轴因v=正=3,故阻力F=-ky2=-9kc(为比 例系数)当x=a时=√8,dx=3tdt故物体由x=0移至x=a时阻力F所作的 功 W Fdx= 9kc2t4·3ctdt=-27kc kato (注意上式右端前为负号,只说明力的方向与运动方向相反) 例2用铁锤将一铁钉钉入木板设木板对铁钉的阻力与铁钉钉入木板的深度成正比 在第一次锤击铁钉时,将铁钉打入木板lcm如果每次铁锤打击铁钉所作的功相等,问第二 次锤击铁钉时,铁钉又被钉入多少? 解取铁钉钉入点为原点铁钉进入木板的方向为x轴正方向,则阻力F=-kx第 次锤击铁钉使铁钉由x=0进入到木板内x=1处,此时F所作的功为 W krdx= k [-2x] 2(阻力方向与x轴方向相反) 由题意第二次打击时,阻力所作的功仍为-2,设此时铁钉由x=1进人到木板内x =a处,故 k=一kx=-2(a3-1),即a2=2a=√2 k 故第二次锤击铁钉时,铁钉又被钉入木板√2-1(cm) 例3长80cm的圆柱形容器,一端封闭,一端装有直径为20cm的活塞,容器内充满压 强为10N/cm2的蒸汽,若保持温度不变,使蒸汽体积缩小一半,试问需要作多少功? 解选坐标系如图68-1,假定活塞在圆柱体左端,设话塞移到x处时,蒸汽压强为 p(N/cm2),这时蒸汽体积为r·102(80-x)(cm3),由恒温条件下,一定量的气体满足方程 pV=RT,即压强与体积乘积保持不变,故有 丌·102(80-x)p=丌·102·80·10. 即此时蒸汽压强P=80 800 而作用在活塞上的压力 F(x)=$p=丌×10X、800 80-x 选x为积分变量,其变化区间为[0,40],相应于[0,40]上任一小区间[x,x+dx]的压