第68讲定积分应用(3) 253 缩蒸汽的功元素dW= 丌80000 dx,故 80000 40 lx=-·8000o[ln(80-x)] 80 丌·80000(ln40-ln80) r80000ln 80 =80000rln2(N·cm) 40 800rln2(J)(100N·cm=1Nm=1·J). rr+dr 若坐标系选取如图682所示,假定活塞仍在左端,设活塞移 动到x处时,蒸汽压强为户此时蒸汽体积为x:102(-x),则在 图68-1 等温条件下由气态方程可知 r1032(-x)p=丌·102·80·10. 即此时蒸汽压强p= 800 此时,作用在活塞上的压力 F(x)=×102X(~800 丌80000 xx+d 取x为积分变量,则x变化区间为[一80,-40],相应于[ 80,-40]上任一小区间[x,x+dx]压缩蒸汽的功元素dw 图68-2 丌·80000 F(xdx= dx,故 80000丌 W F(xdx 80000[ln|x]-=60=80000n2(N·cm)=800xln2(J) 例4设半径为Rm的半球形水池充满了水,现将池内的水抽出,试问: (1)将池内的水全部抽完需要作功多少? (2)若抽出水所作的功等于将水全部抽完所作的功的一半时,水面下降的高度h等于 多少 解该题虽不属于变量作功,但也能由元素法化为定积分计算.过水池中心作铅直剖 面并选取坐标系如图68-3所示池面与剖面的交线为x2+ R (1)考虑由y到y+dy的一层水,其底面是半径为x的圆,厚 a度为其体积近似于d=xdy设水的比重=9.8kN/m3 则这层水的重力为98x2dy=9.87(R2-y2)dy,要把这层水抽 出,需要把它升高(-y),故抽出这一层水所作的功即功元素dW 9.8π(R2-y2)ydy,所以把池水全部抽出需作功为: 图68-3 8: 4.9 W 9.8丌(R2 y R(kJ) R(k]). (2)设作功一半时水面下降高度为一h,此时所作的功 w 9.8丌y(R2-y2)dy L(R )2]° 4 9.8 4 [R一(R [2R2h2-h] 由题意 W W,即4x[23h2- R 亦即 h4一2R2h2+ R4 0