254 高等数学重点难点100讲 解出2=2√4R=2=2+’2k=(1±2)R 因0<h<R,故舍去h2=(1+-2)R2,则有h )R(m)(0<h<R) 即抽出池中水作功等于抽出全部水所作功之半时水面下降了h=√(-√R(m) 例5半径为a的球沉入水中,它与水面相接,设球的比重为 1,现将球从水中取出,要作多少功(设水的比重y=1)? 解过球心作铅直剖面,并选坐标系如图684所示,剖面的 方程为x2+y2=a2把球提出水平面,上提的距离为2a,设想把 zuzzizzizA(x,y) 球切成许多水平薄片,则每一薄片上提的距离都为2a,考虑从y 到y+dy这一薄片,它在水中的行程为a-y,在水面上的行程为 2a-(a-y)=a+y.又因此薄片体积近似于d=x2dy π(a2-y2)dy.而球的比重为1,故上提此薄片在水中并不费力, 仅在水面上才用力故相应于[y,y+dy]这一薄片上提a+y所 图68-4 作的功即功元素dW=(a+y)dV=x(a+y)(a2-y2)dy,于是 w= (a+y)(a2-y2)dy y)dy= Zala y 例6半径为R,比重为0(大于1)的球沉入深为H(大于2R)的水池底,现将其从水中 取出,需作多少功? 解建立坐标系如图68-5所示,将球从池底捞出所需作的功分为两部分: (1)将球从池底提升到球顶面与水平面相切时所需作的功W1; (2)将球进一步提离水平面所作的功W2 先求W1,在水中所用外力:F外=球重一浮力=4兀R-4兀R,于是W1=Fn(H 2R) 丌R3(a-1)(H-2R) 再求W2,球从水平面提出高度为x单位时所用外力 F外=球重一浮为4水下部分球缺浮力 丌R3-mh2(R h ro-x(2R -r)2 R-1(2R-r [4R(-1-x3+3Rx2](其中h为球缺的高 图68-5 故所需作的功W2=3[4R(a-1)-x3+3Rx2dr 3 4R3(σ-1) Rx3 TR(20-1 于是将球从池底捞出外力需作的功为 W=W,+W2 4 πR(a-1)(H-2R)+4πR(2-1)=4xR[R+(a-1)H]