第68讲定积分应用(3) 255 例7为清除井底的污泥,用缆绳将抓斗放入井底,抓起污泥后提出井口·已知井深 30m,抓斗自重400N,缆绳每米重50N,抓斗抓起的污泥重2000N,提升速度为3m/s,污泥以 20N/s的速度从抓斗缝隙中漏掉,现将抓起污泥的抓斗提升到井口,问克服重力需作多少焦 耳的功? 解如图68-6所示,将抓起污泥的抓斗提升至井口需作功 W=W1(克服抓斗自重所作的功)+W2(克服缆绳重力所作的 功)+W3(提出污泥所作的功) 依题意知:W1=400×30=12000 x+dx 将抓斗由x处提升到x+dx处,克服缆绳重力所作的功约 为dW2=50(30-x)dx从而W2=.50(30-x)dx=22500 在时间间隔[t,t+dt]内提升污泥需作功为dW3=3(2000 20c)dt,将污泥从井底提升至井口共需时间望=10(s) 图68-6 从而 W3=3(2000-20)dt=57000, 因此共需作功W=W1+W2+W3=12000+22500+57000=91500( 、液体的侧压力 物理学上已知,水深h处的压强与深度h成正比,即p=Yh(为水的比重)若一平板铅 直放入水中,由于深度不同处压强也不相等,因而不同深度点处压力也不同,故平板一侧所 受压力随深度不同而变化,平板一侧所受到的总压力也能用元素法化为定积分来计算.一般 地,由曲线y=f1(x),y=f2(x)(f1(x)≤f2(x))及直线x=a,x=b(a<b)所围成的平 面板铅直没人在比重为y的液体中,取x轴铅直向下,液面与y轴重合,则平面板一侧所受压 力P=y|xf2(x)-f1(x)]d 例8薄板形状为一椭圆,其轴为2a与2b(a>b),此薄板的 半铅直沉入水中,且短轴与水面相平齐,试求水对此薄板一侧 的压力(水的比重为Y) 解坐标系选取如图68-7所示,y轴与水面相平齐,椭圆方 程为+ 6 取x为积分变量,则其变化区间为[0,a],相应于[0,a]上任 -小区间[x,x+dr]的薄板窄条的面积近似于dA=a 图687 √a-x2dx而水深x处其压强为p=yx,相应的压力元素dP A √a2-x2dx,所以 2)2]8=2a2b). 例9设有一等腰梯形水闸门,两底长分别为10m和5m,高为20m,且较长的底边与水 面平齐,试计算该闸门的一侧所受的压力