256 高等数学重点难点100讲 坐标分别为(2.5),(,5),故BC的斜率k=0-25的你 解闸门草图及坐标系选取如图688所示,其中B、C gBC的方程为y-5=x选z为积分变量x的变化 maIM 区间为[0,20],相应于[0,20]上任一小区间[x,x+dx]的闸门 窄条面积近似于dA=2ydx=2(5-1x)dx,x处的压强为p= B 7x,故相应压力元素aP=dA=2x(5-8x)dx,所以 图68-8 .2025-3)dx=2 4000 y=13066.63(为水的比重:7= 9.8kN/m3) 例10一底为8cm,高为6m的等腰三角形薄片,铅直地沉入水中,顶点在上、底在下 且与水面平行,而顶离水面3cm,试求此薄片所受的压力 解薄片草图及坐标系选取如图68-9所示,腰AB的方程(斜率kAB=4-02 )为 y=2(x-3),取x为积分变量,则x的变化区间为3,9],相应 A(3,0) 于[3,9]上任一小区间[x,x+dx]的薄片窄条面积近似于 dA=2ydx=2·(x-3)dx 4 (x-3)dx, x处压强为p=Yx,相应的压力元素dP=pdA B(9,4) 3)dx.等腰三角形薄片两侧所受压力相等,故等腰三角形薄片所 图68-9 受的压力 Yx(x -3)dx (x2 -3x)dx 3x2]3 8 243 )-(9-4)]=3367 3 [(243 ≈3.3(N)(Y=9.8kN/m3) 例11边长为a和b(a>b)的矩形薄片,与液面成a角斜沉于某种液体中,长边平行液 面且位于深h处,此液体比重为p,试求此薄片每面上所受的压力 解选取坐标系如图68-10所示,A点坐标xo= hcca.选x 为积分变量,则x的变化区间为[x0,x+b],相应于[x0,x。+b O 上任一小区间[x,x+dx]的薄片窄条面积为dA=adx,坐标x 处液体深为 sina,压强为p= atsina,相应的压力元素dP pdA= pIsina:a·dx= pasinazdx,故薄片各面压力为 SIl d pasI 2pasinaL(xo+b)2-x2]=pasina(2xob+b2) 图68-10 +=2pabsina(2hcsca +b)=pab(2h+ sina) 例12某闸门的形状与大小如图68-11(a)所示,其中直线l为对称轴,闸门的上部为