第68讲定积分应用(3) 257 矩形ABCD下部由二次抛物线与线段AB所围成·当水面与闸门的上端相平时,欲使闸门 矩形部分承受的水压力与闸门下部承受的水压力之比为5:4闸门矩形部分的高h,应为多 少(m)? C h+1 图68-11 解如图68-11(b)建立坐标系,则抛物线的方程为y=x2,闸门矩形部分承受的水压 力 =2"M+1-9)=2-2-mh 其中P为水的密度,g为重力加速度,闸门下部承受的水压力: P2=2g(h+1-y)√ydy=4g(1h+2, 由题意知,2=4,即12T=4,得h=2,h=一3(舍去) 故h=2,即闸门矩形部分的高应为2m. 三、引力 ①当引力△F的方向不随小区间[x,x+dx]的改变而变化时,直接用引力公式作为元 素法中的f(x);②当引力△F的方向随小区间[x,x+dx]的改变而变化时,将引力分解为 横向、纵向两个分力分别用其元素法得出定积分表示式 例13设有一长度为2,线密度为P的均匀细直棒,在它的中垂线上距细直棒为a处有 一质量为m的质点A,求该棒对质点A的引力 解坐标系选取如图68-12,使棒位于x轴上,y轴位于棒的 中垂线上,棒的中点即原点,质点A在y轴上,OA=a,取x为积 B 分变量,它的变化区间为[-l,],把[一l,幻]上任一小区间[x,x dx]的一小段细棒近似看作质点,其质量为dx.它与A点相 距r=√a2+x2,按两质点间万有引力公式,这小段细棒(质量 可看成集中在x点处)与质点A的引力△F为 △F≈Gmx,(米 从而可得到该引力在y轴方向的分力元素 图68-12 dFy=Gmat,cosp=-G (a2+ 故 d (a2+x2)