1.全面极限limf(x,y)=A的定义:亦可记为limf(P)=A.由 (x,y)+(xy) limf(x)=A的定义引入 例1用“E-δ”定义验证极限lim(x2+xy+y2)=7 (x,y)(2,1) 例2用“E-δ”定义验证极限lim (x,y)≠(0,0) 例3f(x,y)= (x,y)=(0,0) 证明Iimf(x,y)=0.(用极坐标变换) 2.相对极限及方向极限 相对极限lmf(P)=A和方向极限lmf(x,y+k(x-x0)=A的定义 3.全面极限与相对极限的关系 Th1limf(P)=A,分对D的每一个子集E,只要点P是E的聚点,就有 lim f(P 系1设E1∈D,B是E1的聚点.若极限limf(P)不存在,则极限limf(P)也 不存在 系2设E1E2CD,B是E1和E2的聚点.若存在极限limf(P)=A1 limf(P)=A2,但A1≠A2,则极限imf(P)不存在 系3极限lm∫(P)存在,分对D内任一点列{P},B→>B但Pn≠B,数列 f(Pn)}收敛 通常为证明极限limf(P)不存在,可证明沿某个方向的极限不存在,或证明沿某两个 方向的极限不相等,或证明方向极限与方向有关.但应注意,沿任何方向的极限存在且 相等≠全面极限存在(以下例5) 例4f(x,y)={x2+y2,(x,y)≠(0 证明极限limf(x,y)不存在 (x,y)+(0,0) (x,y)=(0,0) (考虑沿直线y=kx的方向极限) 例5求下列极限1． 全面极限 ),(lim ),(),( 00 yxf → yxyx = A 的定义 : 亦可记为 APf PP = → )(lim0 . 由 Axf 的定义引入. xx = → )(lim0 例 1 用“ε −δ ”定义验证极限 (lim 7) . 2 2 )1,2(),( =++ → yxyx yx 例 2 用“ε −δ ”定义验证极限 lim 0 22 2 0 0 = + → → yx xy y x . 例 3 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ≠ + − = ).0,0(),( , 0 ),0,0(),( , ),( 22 22 yx yx yx yx xy yxf 证明 0),(lim . ( 用极坐标变换 ) . )0,0(),( = → yxf yx 2．相对极限及方向极限: 相对极限 APf 和方向极限 DP PP = ∈ → )(lim0 Axxkyxf xx + − = → 0 0 ))( , (lim0 的定义. 3． 全面极限与相对极限的关系: Th 1 , 对 D 的每一个子集 E , 只要点 是 E 的聚点 ,就有 . APf DP PP = ∈ → )(lim0 ⇔ P0 APf EP PP = ∈ → )(lim0 系 1 设 , 是 的聚点 . 若极限 不存在 , 则极限 也 不存在 . 1 ⊂ DE P0 E1 )(lim 1 0 Pf EP PP ∈ → )(lim0 Pf DP PP ∈ → 系 2 设 , 是 和 的聚点 . 若存在极限 , , 但 , 则极限 不存在. , 21 ⊂ DEE P0 E1 E2 1 )(lim 1 0 APf EP PP = ∈ → 2 )(lim 2 0 APf EP PP = ∈ → ≠ AA 21 )(lim0 Pf DP PP ∈ → 系 3 极限 存在 )(lim , 对 D 内任一点列 , 但 0 Pf DP PP ∈ → ⇔ } { Pn n → PP 0 n ≠ PP 0 , 数列 )}({ 收敛 . Pf n 通常为证明极限 不存在, 可证明沿某个方向的极限不存在 , 或证明沿某两个 方向的极限不相等, 或证明方向极限与方向有关 . 但应注意 , 沿任何方向的极限存在且 相等 )(lim0 Pf →PP ⇒/ 全面极限存在 ( 以下例 5 ). 例4 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ≠ = + . )0,0(),( , 0 ),0,0(),( , ),( 22 yx yx yx xy yxf 证明极限 ),(lim 不存在. )0,0(),( yxf yx → ( 考虑沿直线 的方向极限 = kxy ). 例5 求下列极限: 208