lim lim sin xy y2 (x,y)+(3,0) In(+x2 i)〉lim 4.极限limf(x,y)=+∞的定义: 其他类型的非正常极限,(x,y)→无穷远点的情况 例6 li ExP142-1431,2. 二、累次极限 1.累次极限的定义: 例7∫(x,y)= x2+,,求在点(0,0)的两个累次极限 例8f(x,y)=x-,求在点(0,0)的两个累次极限 例9f(x,y)=xSin-+ysin-,求在点(0,0)的两个累次极限 2.全面极限与累次极限的关系: (1)两个累次极限存在时,可以不相等.(例9) (2)两个累次极限中的一个存在时,另一个可以不存在 例如函数f(x,y)=xsin-在点(0,0)的情况 (3)全面极限存在时,两个累次极限可以不存在 例如例10中的函数,由|∫(x,y)|≤|x|+|y}>0,(x,y)→>(0,0).可见全面极限 存在,但两个累次极限均不存在 (4)两个累次极限存在(甚至相等)≯全面极限存在.(参阅例4和例8) 综上,全面极限、两个累次极限三者的存在性彼此没有关系.但有以下确定关系 则必相等(交、《x影√f(xy)和累次极限 lim lim f(x,y)(或另一次序)都存在 Th2若全面极限lim 系1全面极限和两个累次极限三者都存在时,三者相等 系1给出了累次极限次序可换的一个充分条件 系2两个累次极限存在但不相等时,全面极限不存在 但两个累次极限中一个存在,另一个不存在→全面极限不存在参阅(2)的例ⅰ> )0,0(),( lim yx → 22 2 yx yx + ; ⅱ> )0,3(),( lim yx → y sin xy ; ⅲ> )0,0(),( lim yx → xy xy −+ 11 ; ⅳ> )0,0(),( lim yx → 22 22 )1ln( yx yx + ++ . 4． 极限 ),(lim ),(),( 00 yxf → yxyx +∞= 的定义: 其他类型的非正常极限， yx ),( → 无穷远点的情况. 例6 验证 )0,0(),( lim yx → +∞= + 22 32 1 yx . Ex P142—143 1，2. 二、累次极限: 1．累次极限的定义: 例7 22 ),( yx xy yxf + = , 求在点 的两个累次极限 ) 0 , 0 ( . 例8 22 22 ),( yx yx yxf + − = , 求在点 的两个累次极限 ) 0 , 0 ( . 例9 x y y xyxf 1 sin 1 sin),( += , 求在点 的两个累次极限 ) 0 , 0 ( . 2．全面极限与累次极限的关系: ⑴ 两个累次极限存在时, 可以不相等. ( 例 9 ) ⑵ 两个累次极限中的一个存在时, 另一个可以不存在. 例如函数 y xyxf 1 = sin),( 在点 的情况 ) 0 , 0 ( . ⑶ 全面极限存在时, 两个累次极限可以不存在. 例如例 10 中的函数, 由 . 可见全面极限 存在 , 但两个累次极限均不存在. yxyxf →+≤ yx → )0,0(),( , 0|||| |),(| ⑷ 两个累次极限存在( 甚至相等 ) ⇒/ 全面极限存在 . ( 参阅例 4 和例 8 ). 综上, 全面极限、两个累次极限三者的存在性彼此没有关系 . 但有以下确定关系. Th 2 若全面极限 和累次极限 (或另一次序)都存在 , 则必相等. ( 证 ) ),(lim ),(),( 00 yxf → yxyx ),(limlim 00 yxf →→ yyxx 系 1 全面极限和两个累次极限三者都存在时 , 三者相等 . 系 1 给出了累次极限次序可换的一个充分条件. 系 2 两个累次极限存在但不相等时 , 全面极限不存在 . 但两个累次极限中一个存在 , 另一个不存在 ⇒/ 全面极限不存在 . 参阅⑵的例. Ex P142 3，4，5。 209