三、二元函数的连续性 (一)二元函数的连续(相对连续)概念:由一元函数连续概念引入 1.连续的定义 定义用邻域语言定义相对连续.全面连续 函数f(x,y)有定义的孤立点必为连续点 +y2≠0, 例1f(x,y)= 证明函数f(x,y)在点(0,0)沿方向y=mx连续 例2f(x,y)= j1,0<y<x2,-0<x<+∞, lo,其他 证明函数∫(x,y)在点(0,0)沿任何方向都连续,但并不全面连续 函数的增量:全增量、偏增量.用增量定义连续性 函数在区域上的连续性 2.二元连续(即全面连续)和单元连续 定义(单元连续 定义(二元连续 二元连续与单元连续的关系 3.连续函数的性质:运算性质、局部有界性、局部保号性、复合函数连续性 (二)二元初等函数及其连续性: 二元初等函数 元初等函数的连续性 (三)一致连续性 (四)有界闭区域上连续函数的性质 1.有界性与最值性.(证) 2.一致连续性 证) 3.介值性与零点定理.(证) ExP142-1436-10三、二元函数的连续性 （一） 二元函数的连续（相对连续）概念：由一元函数连续概念引入 . 1． 连续的定义: 定义 用邻域语言定义相对连续 . 全面连续 . 函数 有定义的孤立点必为连续点 yxf ),( . 例1 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ =+ + ≠+ + = , . 0 1 , , 0 ),( 22 2 22 22 yx m m yx yx xy yxf 证明函数 在点 沿方向 连续 yxf ),( ) 0 , 0 ( = mxy . 例 2 ⎩ ⎨ ⎧ +∞<<∞−<< = . , 0 ,0 , 1 , ),( 2 其他 xy x yxf 证明函数 在点 沿任何方向都连续 yxf ),( ) 0 , 0 ( , 但并不全面连续. 函数的增量: 全增量、 偏增量 . 用增量定义连续性 . 函数在区域上的连续性 . 2． 二元连续( 即全面连续 ) 和单元连续 : 定义 ( 单元连续 ) 定义 ( 二元连续 ) 二元连续与单元连续的关系: 3． 连续函数的性质: 运算性质、局部有界性、局部保号性、复合函数连续性. （二） 二元初等函数及其连续性: 二元初等函数 , 二元初等函数的连续性. （三） 一致连续性: （四） 有界闭区域上连续函数的性质: 1．有界性与最值性. ( 证 ) 2．一致连续性. ( 证 ) 3．介值性与零点定理. ( 证 ) Ex P142—143 6—10. 210