则上述数学模型可用矩阵形式表示为 其中ε是n维随机向量,它的分量相互独立。 二、最小二乘估计 与一元线性回归类似,我们采用最小二乘法估计参数B,BB2,…,Bn,引入偏差平方和 QA0,B…Bn)=∑(0-B-Bx1-B2x2-…-Bx) 最小二乘估计就是求B=(B0,B1…B),使得 Q(B0,B1…,Bp)=QBo,B1 因为QB0,B1…,B)是B,B…B,的非负二次型,故其最小值一定存在。根据多元微 积分的极值原理,令 an-20-B-B-“=By)=0 aB B0-B1x1-…-Bnx) 上述方程组称为正规方程组,可用矩阵表示为 B=XY 在系数矩阵XX满秩的条件下,可解得 XXX Y β就是B的最小二乘估计,即B为回归方程 =B+Bx1+…+Bp 的回归系数 注:实际应用中,因多元线性回归所涉及的数据量较大,相关分析与计算较复杂,通常 采用统计分析软件SPSS或SAS完成,有兴趣的读者可进一步参考相关资料 例题选讲 例1设Y=(y,y2,y3)服从线性模型 y=B0+月1x1+B2(3x2-2),=12,3 其中x=-1,x2=0,x3=1,试写出矩阵X,并求出B,B1,B2的最小二乘估计则上述数学模型可用矩阵形式表示为 Y = X + 其中  是 n 维随机向量，它的分量相互独立。 二、最小二乘估计 与一元线性回归类似，我们采用最小二乘法估计参数     p , , , , 0 1 2  ，引入偏差平方和 ( , , , ) Q  0  1   p == − − − − − n i i i i p ip y x x x 1 2 0 1 1 2 2 (      ) 最小二乘估计就是求   = T p ( , , , )  0  1      ，使得  min ( , , , ) Q  0  1  p     = ( , , , ) Q  0  1  p     因为 ( , , , ) Q  0  1   p 是    p , , , 0 1  的非负二次型，故其最小值一定存在。根据多元微 积分的极值原理，令 1,2, , . 2 ( ) 0 2 ( ) 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 j p y x x x Q y x x Q n i i i p ip ij j n i i i p ip    =        = − − − − − =   = − − − − − =     = =         上述方程组称为正规方程组，可用矩阵表示为 X X X Y T T  = 在系数矩阵 X X T 满秩的条件下，可解得 X X X Y T 1 T ( ) −  =    就是  的最小二乘估计，即   为回归方程 y =  p p   x  x     0 + 1 1 + + 的回归系数. 注：实际应用中，因多元线性回归所涉及的数据量较大，相关分析与计算较复杂，通常 采用统计分析软件 SPSS 或 SAS 完成，有兴趣的读者可进一步参考相关资料. 例题选讲 例 1 设 T Y (y , y , y ) = 1 2 3 服从线性模型 (3 2), 1,2,3, 2 Yi =  0 + 1 xi +  2 xi − i = 其中 1, 0, 1, xi = − x2 = x3 = 试写出矩阵 X, 并求出 0 1 2  ,  ,  的最小二乘估计