,1512, 北京科技大学学报 第31卷 流体在不同的流动区域表现出不同的特征，根 式中，S为高速非线性渗流系数，即惯性系数.本文 据其流动规律和特征可以把低渗透油层整体压裂开 采用了Frederic等提出的方法来计算，S的具体表 采流动划分成三个物理区域：I区为裂缝中的非达 达式为： 西流动区，即为人工压裂裂缝内的高速非达西流动： = 1 Ⅱ区为裂缝控制影响区域，即为井裂缝与裂缝周围 [(1-s)]2· 控制区（基质）的耦合流动区：Ⅲ区为远离人工裂缝 expi45-J407-81ln[k/$(1-sw)]}, 的流体渗流规律区，即基质内非达西渗流区， 裂缝中的流速表达式为： 2三区耦合油水两相渗流数学模型 v=,十un=Q h 模型的假设：(1)油水两相不混溶、不可压缩： 人工压裂裂缝中的高速非线性渗流模型可简化为一 (2)重力和裂缝中的毛管压力可忽略不计，不考虑 维的情况： 井筒存储和表皮效应的影响；(3)流体渗流为等温 -dp=“。 过程，油藏是均质和各向同性的 -vn十pw好 (2) dx heg hro 由于井网的几何对称性，井网单元内的流体流 dp=Ew 动具有相似性，只需研究井网单元中一个代表性的 dx后”+印2 (3) 直角三角形区域（见图1），如果把该三角形区域内 式中，卫为压力，“为流体的黏度，为裂缝的渗透 的流动弄清楚了，整个井网的流场就解决了， 率，心：为裂缝的宽度，P为流体的密度，中为孔隙 度，Sw为含水饱和度，Q为流量，h为油层厚度，k 为相对渗透率，o代表油相，w代表水相. 2.2Ⅱ区：裂缝控制区域内的椭圆渗流区 对于低渗透油层中的一口压裂生产井，当油井 生产时，等压面呈旋转椭球面的形状传播，因此压裂 裂缝控制区域内的渗流为椭圆流，基于扰动椭圆的 概念，用发展的矩形族[]（如下式所示）来描述等 压椭圆族： 。采油井△注水井 =wh写=2mH兰h(0 图1井网单元示意图 则Ⅱ区中的椭圆渗流偏微分方程为： Fig.1 Sketch map of a pattern unit 告v6d到-院 (5) 2.1I区：裂缝中的高速非达西渗流 若裂缝中流量为0=10m3d1,流体密度p= 780kgm-3,流体黏度为u=2.78mPas,裂缝渗流 党(v6】=学 (6) 为k=100m2,基质孔隙度为=0.18.由米里昂 式中，x:为裂缝长度，ξ、7为椭圆坐标，k为基质渗 席哥夫推导公式[1)计算的雷诺数为： 透率，G为启动压力梯度，S。为含油饱和度， =昏=8.827. 椭圆坐标表示的渗流速度为： 式中，v为渗流速度 vy4xthch (7) Darcy定律的适用上限为Re=0.022~0.29. 裂缝控制范围内的椭圆只占三角形流动区域的 由此可知，裂缝中的雷诺数远大于达西定律适用上 一部分，在三角形内的椭圆流量亦为总椭圆的一部 限的雷诺数，因此裂缝中的流动不再符合达西定 分，即 律.人们经过大量的实验和理论推导，得出了流体 非线性渗流的各种表达式，其中以二项式的高速非 -8-4 (8) 线性渗流模型用的最为广泛4]， 式中，A,为椭圆落在三角形区域内的面积，Q,为落 在三角形区域内的椭圆流动的流量，Q为椭圆总流 (1) 量，A为椭圆的面积流体在不同的流动区域表现出不同的特征‚根 据其流动规律和特征可以把低渗透油层整体压裂开 采流动划分成三个物理区域：Ⅰ区为裂缝中的非达 西流动区‚即为人工压裂裂缝内的高速非达西流动； Ⅱ区为裂缝控制影响区域‚即为井裂缝与裂缝周围 控制区（基质）的耦合流动区；Ⅲ区为远离人工裂缝 的流体渗流规律区‚即基质内非达西渗流区． 2 三区耦合油水两相渗流数学模型 模型的假设：（1） 油水两相不混溶、不可压缩； （2） 重力和裂缝中的毛管压力可忽略不计‚不考虑 井筒存储和表皮效应的影响；（3） 流体渗流为等温 过程‚油藏是均质和各向同性的． 由于井网的几何对称性‚井网单元内的流体流 动具有相似性‚只需研究井网单元中一个代表性的 直角三角形区域（见图1）．如果把该三角形区域内 的流动弄清楚了‚整个井网的流场就解决了． 图1 井网单元示意图 Fig．1 Sketch map of a pattern unit 2∙1 Ⅰ区：裂缝中的高速非达西渗流 若裂缝中流量为 Q＝10m 3·d －1‚流体密度 ρ＝ 780kg·m －3‚流体黏度为 μ＝2∙78mPa·s‚裂缝渗流 为 k＝100μm 2‚基质孔隙度为 ●＝0∙18．由米里昂 席哥夫推导公式［12］计算的雷诺数为： Re＝ vρ μ k ● ＝3∙827． 式中‚v 为渗流速度． Darcy 定律的适用上限为 Re＝0∙022～0∙29． 由此可知‚裂缝中的雷诺数远大于达西定律适用上 限的雷诺数．因此裂缝中的流动不再符合达西定 律．人们经过大量的实验和理论推导‚得出了流体 非线性渗流的各种表达式‚其中以二项式的高速非 线性渗流模型用的最为广泛［14］． －ᐁ p＝ μ k v＋ζρv 2 （1） 式中‚ζ为高速非线性渗流系数‚即惯性系数．本文 采用了 Frederic 等提出的方法来计算‚ζ的具体表 达式为： ζ＝－ 1 ［●（1－sw）］ 2· exp｛45－ 407－81ln［ kf／●（1－sw）］｝‚ 裂缝中的流速表达式为： v＝v o＋v w＝ Q wf h ‚ 人工压裂裂缝中的高速非线性渗流模型可简化为一 维的情况： － d p d x ＝ μo kf kro v o＋ξρo v 2 o （2） － d p d x ＝ μw kf krw v w＋ξρw v 2 w （3） 式中‚p 为压力‚μ为流体的黏度‚kf 为裂缝的渗透 率‚wf 为裂缝的宽度‚ρ为流体的密度‚●为孔隙 度‚sw 为含水饱和度‚Q 为流量‚h 为油层厚度‚kr 为相对渗透率‚o 代表油相‚w 代表水相． 2∙2 Ⅱ区：裂缝控制区域内的椭圆渗流区 对于低渗透油层中的一口压裂生产井‚当油井 生产时‚等压面呈旋转椭球面的形状传播‚因此压裂 裂缝控制区域内的渗流为椭圆流．基于扰动椭圆的 概念‚用发展的矩形族［4－5］ （如下式所示）来描述等 压椭圆族： x＝ xf·coshξ‚y＝ 2 π∫ 2π 0 bsinηdη＝ 2xf π sinhξ （4） 则Ⅱ区中的椭圆渗流偏微分方程为： ∂ ∂y kkro μo （ᐁ p－ G） ＝● ∂so ∂t （5） ∂ ∂y kkrw μw （ᐁ p－ G） ＝● ∂sw ∂t （6） 式中‚xf 为裂缝长度‚ξ、η为椭圆坐标‚k 为基质渗 透率‚G 为启动压力梯度‚so 为含油饱和度． 椭圆坐标表示的渗流速度为： v y＝ Qt 4xf hchξ （7） 裂缝控制范围内的椭圆只占三角形流动区域的 一部分‚在三角形内的椭圆流量亦为总椭圆的一部 分‚即 a＝ Qt Q ＝ At A （8） 式中‚At 为椭圆落在三角形区域内的面积‚Qt 为落 在三角形区域内的椭圆流动的流量‚Q 为椭圆总流 量‚A 为椭圆的面积． ·1512· 北 京 科 技 大 学 学 报 第31卷