94 线性代数重点难点30讲 其中M= P是可逆矩阵 充分性:已知存在可逆方阵M,且有A=M1M而A=(MM)=MM=A,故 A是对称矩阵因M为可逆矩阵故对任何非零列向量x都有Mx≠0(否则若Mx=0,则 由M'Mx=0,而MM=E,必有x=0).故对任何非零列向量x,f=xAx= xMMx=(Mx)Mx=‖Mx‖2>0,即二次型f=xAx为正定的,故A为正定矩阵 例11已知二次型f(x1,x2,x3)=2x+3x2+3x3+2ax2x3(a>0)通过正交变换 化成标准形f=y2+2y2+5y3,试求a及所用的正交变换矩阵 分析此题的特点是给出了二次型的标准形,这就相当于给出了二次型对应的实对称 矩阵A的特征值解特征方程1AE-A1=0就可以定出参数a.而A的属于入1=1,A2 2,A3=5的两两正交的单位特征向量p1,P2,P3构成的矩阵P=(p1,P2,P3)就是所求的 正交变换矩阵 200 解∫的矩阵A=03a,则对实对称矩阵A可找出正交矩阵P使PAP=A 2,即A与对角阵A相似故A的特征值A1=1,A2=2,A3=5 A1=1,由特征方程|A-E|=0,即 0 1A-E|=02a=4-a2=0, 解出a=2(因a>0),则 200 032 023 解方程组(A-AE)x=0(i=1,2,3),分别求出λ1=1,A2=2,A3=5对应的特征 向量 p1=(0,1,-1),p2=(1,0,0),p3=(0,1,1) 因为A的特征值A1,A2,A3互异,故P1,P2,P3必正交将它们单位化,可得正交矩阵 010 1