第16讲二次型及其矩阵 93 <0, f负定,当且仅当(m+1)(m-1)<0,于是m<-1 (m+1)2(m-2)<0 例9二次型f(x1,x2,x3)=2x2+x2-4x3-4x1x2-2x2x3的标准形是() (A)2y2-y2-3y; (B)-2-n2-3 (D)2y2+y2+3y3 解法1n元二次型∫正定(负定)的充要条件是正(或负)惯性指数等于n,而本题n= 3但f(1,0,0)=2>0,而f(0,0,1)=-4<0,故f(x1,x2,x3)既非正定,又非负定因此 (D),(B)都可以排除.而∫的矩阵A经初等行变换 2-20 2-20 可知R(A)=3.即(C)也可以排除,因此只有选(A) 解法2利用配方法将二次型化为标准形 1- )2 令y1=x1-x2,y2=x2+x3,y3=x3,则二次型化为标准形f=2y2-2-3y,显 然应选(A) 注意本题是由满秩的可逆变换得到的标准形,不能由正交变换下的标准形判定, 例10证明:n阶实对称矩阵A为正定矩阵的充要条件是存在可逆矩阵M,使A 证必要性因实对称矩阵A为正定矩阵,则A的特征值λ1>0(i=1,2,…,n),且 存在正交矩阵P,使 PAP=PAP= 而 HA = F MM