92· 线性代数重点难点30讲 注意用正交变换和配方法所化成的二次型f=xAx的标准形不一定一样.若用正 交变换x=Py(P为正交矩阵)将二次型f=xAx化成为标准形,则标准形中变量平方项 的系数必组成A的全部特征值,但配方法化成的标准形则不然.例如,用配方法化二次型 f(x1,x2)=x2+2x1x2+2x为标准形:f=(x1+x2)2+x2,令x1+x2=y1,x2=y2 处Jx1=y-当”则在此满秩线性变换下就将f化成了标排形/=+,但标准形中 的系数1,1都不是f的矩阵A= 的特征值(A的特征值为+√5 例8(1)若二次型f(x1,x2,x3)=x2+x2+5x3+2tx1x2-2x1x3+4x2x3是正 定的,试求t的取值范围 (2)已知二次型f(x1,x2,x3)=mx2+mx2+mx3+2x1x2+2x1x3-2x2x3,则当 t为何值时,f是正定的;当t为何值时,f是负定的? 分析对一个具体的二次型,可通过判断其对应矩阵的顺序主子式来判断二次型的正 定和负定,所以此题可通过顺序主子式的正负性来确定二次型正定和负定的t的取值 解(1)∫的矩阵为 由∫正定的充要条件是A的各阶主子式都大于零,故有 1|=1>0, 1/≈1-t2>0,t12=-1(5t+4)>0 由1-2>0,-2(5t+4)>0,解得:-3<<0 (2)设 x3]1m-1|x2|=xAx, 矩阵A的顺序主子式依次为 1=(m+1)(m-1) 0 1+m -m-1m+1 m>0 所以∫正定,当且仅当{(m+1(m-1)>0.于是m>2 (m+1)(m-2)>0