L=∑(m-1)pn=L-(1-P)=L 1( 关于顾客在系统中的逗留时间T,可说明它服从参数为-的复指数分布,即 P{T>l}=e-,t≥0 因此,平均逗留时间 因为,顾客在系统中的逗留时间为等待时间T和接受服务时间V之和,即 7+1 故由 W,=E(7)=E(T)+E(1)=W+ (12) 可得平均等待时间W为 Wa=ws 4(-1) 从式(9)和式(11),可发现平均队长L,与平均逗留时间W,具有关系 L=aw (14) 同样,从式(10)和式(13),可发现平均排队长L与平均等待时间W具有关系 L =an (15) 式(14)和式(15)通常称为 Little公式,是排队论中一个非常重要的公式 4.1.3忙期和闲期 在平衡状态下,忙期B和闲期Ⅰ一般均为随机变量,求它们的分布是比较麻烦的。 因此,我们来求一下平均忙期B和平均闲期I。由于忙期和闲期出现的概率分别为P和 1-p,所以在一段时间内可以认为忙期和闲期的总长度之比为p:(1-p)。又因为忙 期和闲期是交替出现的,所以在充分长的时间里,它们出现的平均次数应是相同的。于 是,忙期的平均长度B和闲期的平均长度I之比也应是p:(1-p),即 B (16) 又因为在到达为 Poisson流时,根据负指数分布的无记忆性和到达与服务相互独立的假 设,容易证明从系统空闲时刻起到下一个顾客到达时刻止(即闲期)的时间间隔仍服从 参数为A的负指数分布,且与到达时间间隔相互独立。因此,平均闲期应为一,这样, 便求得平均忙期为 B (17) 1-p2-2 与式(11)比较,发现平均逗留时间(W,)=平均忙期(B)。这一结果直观看上去 是显然的,顾客在系统中逗留的时间越长,服务员连续繁忙的时间也就越长。因此,-126- ( ) ( 1) (1 ) 2 0 1 μ μ λ λ ρ − = ∑ − = − − = − = ∞ = L n p L p L n q n （10） 关于顾客在系统中的逗留时间T ，可说明它服从参数为 μ − λ 的复指数分布，即 t P T t e ( ) { } − μ−λ > = ，t ≥ 0 因此，平均逗留时间 μ − λ = 1 Ws （11） 因为，顾客在系统中的逗留时间为等待时间Tq 和接受服务时间V 之和，即 T = Tq +V 故由 μ 1 Ws = E(T) = E(Tq ) + E(V ) = Wq + （12） 可得平均等待时间Wq 为 ( ) 1 μ μ λ λ μ − Wq =Ws − = （13） 从式（9）和式（11），可发现平均队长 Ls 与平均逗留时间Ws 具有关系 Ls = λWs （14） 同样，从式（10）和式（13），可发现平均排队长 Lq 与平均等待时间Wq 具有关系 Lq = λWq （15） 式（14）和式（15）通常称为 Little 公式，是排队论中一个非常重要的公式。 4.1.3 忙期和闲期 在平衡状态下，忙期 B 和闲期 I 一般均为随机变量，求它们的分布是比较麻烦的。 因此，我们来求一下平均忙期 B 和平均闲期 I 。由于忙期和闲期出现的概率分别为 ρ 和 1− ρ ，所以在一段时间内可以认为忙期和闲期的总长度之比为 ρ :(1− ρ) 。又因为忙 期和闲期是交替出现的，所以在充分长的时间里，它们出现的平均次数应是相同的。于 是，忙期的平均长度 B 和闲期的平均长度 I 之比也应是 ρ :(1− ρ)，即 ρ ρ − = I 1 B （16） 又因为在到达为 Poisson 流时，根据负指数分布的无记忆性和到达与服务相互独立的假 设，容易证明从系统空闲时刻起到下一个顾客到达时刻止（即闲期）的时间间隔仍服从 参数为λ 的负指数分布，且与到达时间间隔相互独立。因此，平均闲期应为 λ 1 ，这样， 便求得平均忙期为 ρ λ μ λ ρ − ⋅ = − = 1 1 1 B （17） 与式（11）比较，发现平均逗留时间（Ws ）＝平均忙期（ B ）。这一结果直观看上去 是显然的，顾客在系统中逗留的时间越长，服务员连续繁忙的时间也就越长。因此，一