述公式得到平稳状态的概率分布。 §4M/M/s等待制排队模型 4.1单服务台模型 单服务台等待制模型M/M//∞是指:顾客的相继到达时间服从参数为A的负指 数分布,服务台个数为1,服务时间V服从参数为的负指数分布,系统空间无限, 允许无限排队,这是一类最简单的排队系统。 4.1.1队长的分布 记Pn=P{N=n}(n=01,2…)为系统达到平衡状态后队长N的概率分布,则 由式(4)~(6),并注意到An=A,n=0,2,…和n=1,n=0,1,2,…。记 并设p<1(否则队列将排至无限远),则 P,=p"po, n=1,2 其中 Po P (7) 因此 Pn=(1-p)p”,n=1,2 公式(7)和(8)给出了在平衡条件下系统中顾客数为n的概率。由式(7)不难看出, P是系统中至少有一个顾客的概率,也就是服务台处于忙的状态的概率,因而也称P为 服务强度,它反映了系统繁忙的程度。此外,(8)式只有在p=-<1的条件下才能得 到,即要求顾客的平均到达率小于系统的平均服务率,才能使系统达到统计平衡 4.1.2几个主要数量指标 对单服务台等待制排队系统,由已得到的平稳状态下队长的分布,可以得到平均队 长 n(1-p) =(p+2p2+3p3+…)-(p2+2p3+3p4+…) (9) =p+p+p+……= 平均排队长L为-125- 述公式得到平稳状态的概率分布。 §4 M / M /s 等待制排队模型 4.1 单服务台模型 单服务台等待制模型 M / M /1/ ∞ 是指：顾客的相继到达时间服从参数为λ 的负指 数分布，服务台个数为 1，服务时间V 服从参数为 μ 的负指数分布，系统空间无限， 允许无限排队，这是一类最简单的排队系统。 4.1.1 队长的分布 记 p P{N n} n = = （ n = 0,1,2,L）为系统达到平衡状态后队长 N 的概率分布，则 由式（4）～（6），并注意到λn = λ, n = 0,1,2,L和 μn = μ, n = 0,1,2,L。记 μ λ ρ = 并设 ρ < 1（否则队列将排至无限远），则 n Cn ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = μ λ ， n =1,2,L 故 p p0 n n = ρ ， n = 1,2,L 其中 ρ ρ ρ ρ = − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = + = − − ∞ = ∞ = ∑ ∑ 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 n n n n p （7） 因此 n pn = (1− ρ)ρ ， n =1,2,L （8） 公式（7）和（8）给出了在平衡条件下系统中顾客数为 n 的概率。由式（7）不难看出， ρ 是系统中至少有一个顾客的概率，也就是服务台处于忙的状态的概率，因而也称 ρ 为 服务强度，它反映了系统繁忙的程度。此外，（8）式只有在 = < 1 μ λ ρ 的条件下才能得 到，即要求顾客的平均到达率小于系统的平均服务率，才能使系统达到统计平衡。 4.1.2 几个主要数量指标 对单服务台等待制排队系统，由已得到的平稳状态下队长的分布，可以得到平均队 长 μ λ λ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ − = − = + + + = = + + + − + + + = ∑ = ∑ − ∞ = ∞ = 1 ( 2 3 ) ( 2 3 ) (1 ) 2 3 2 3 2 3 4 0 1 L L L n n n s n L np n （9） 平均排队长 Lq 为