2001年线性代数考研题 1.(01-1-03设矩阵A满足AP2+A-4E=O,其中E为单位矩阵,则(A-E)= 解应填:(A+2E) 应设法分解出A_E因子.由A2+A-4E=O,有 (A-E)(A+2E=2E,即(A-E)(A+2E)=E 故(A-1_1 4000 2.(01-1-03)设A= 1111 0000 B 0000 则A与B[] 0000 (A)合同且相似(B)合同但不相似c)不合同但相似(D)不合同且不相似 易知的特征值均为4,0,0,0,且A、B均为实对称矩阵,故存在正交矩阵P、Q使 PAP 可见A、B均合同且相似于同一矩阵,故A、B既合同又相似 3.(01-1-0设1,a,…,a3为线性方程组Ax=0的一个基础解系 月=1叫+22,月=1④+2…,月=4《+2,其中l1,2为实常数.试可1,2满 足什么关系时,月A,…,月也为Ax=0的一个基础解系 解首先,…月一定是Ax=0的解,是否为基础解系,只要证明月,月, 月线性无关即可 由于A(=12…,s)为a1G2,…,a3的线性组合,所以月(x=12,…,s)均为Ax=0的 k月+k2B2+…+k,B=0 即(1k1+t2k,)1+(2+2)2+…+(2k-1+比3)a2=0 由于a1,2,…,a3线性无关,因此有