并深刻地指出:“割之弥细,所失弥少;割之又割,以至于不可割, 则与圆周合体而无所失矣。 我国南北朝时期的数学家祖(中国古代数学家祖冲之之子)发 展了刘徽的思想,在求出球的体积的同时,得到了一个重要的结论(后 人称之为祖晅原理ˆ):“夫叠基成立积,缘幂势既同,则积不容异。 用现在的话来讲,一个几何体(“立积”)是由一系列很薄的小片(“基”) 叠成的;若两个几何体相应的小片的截面积(“幂势”)都相同,那它们 的体积(“积”)必然相等 利用祖眶原理求球体的体积:取一个几何体为上半球体 x2+y2+2≤R2,z≥0};将圆柱体{x2+y2≤R2,0≤z≤R}减去(即挖 去)倒立的圆锥{x2+y2≤=2,0≤=≤R}视为另一个几何体。则对任意的 0≤z≤R,过(0,0,3)点作水平截面,得到的截口面积相等,都为 π(R2-x2),由此得到球体的体积为=mR3。 十七世纪前微分学与积分学的发展历史 公元前5世纪,古希腊数学家安提丰( Antiphon)创立了“穷竭法”, 认为圆内接正多边形当边数不断增加,最后多边形就与圆相合。公元 前2世纪,古希腊数学家阿基米德( Archimedes)对“穷竭法”作出了 巧妙的应用,他在《论抛物线求积法》中用“穷竭法”求拋物弓形的面 积,他构造一系列三角形使它们的面积和不断接近抛物弓形的面积, 这就是极限理论的最初形式。在《论球和柱体》一书中,阿基米德首 先得到了球和球冠的表面积、球和球缺的体积的正确公式。阿基米德 的著作代表了古希腊数学的顶峰。并深刻地指出：“割之弥细，所失弥少；割之又割，以至于不可割， 则与圆周合体而无所失矣。” 我国南北朝时期的数学家祖暅（中国古代数学家祖冲之之子）发 展了刘徽的思想，在求出球的体积的同时，得到了一个重要的结论（后 人称之为“祖暅原理”)：“夫叠基成立积，缘幂势既同，则积不容异。” 用现在的话来讲，一个几何体(“立积”)是由一系列很薄的小片(“基”) 叠成的；若两个几何体相应的小片的截面积(“幂势”)都相同，那它们 的体积(“积”)必然相等。 利用祖暅原理求球体的体积：取一个几何体为上半球体 { , 0 2 2 2 2 x  y  z  R z  }；将圆柱体 { x  y  R , 0  z  R 2 2 2 }减去（即挖 去）倒立的圆锥{ x  y  z , 0  z  R 2 2 2 }视为另一个几何体。则对任意的 0  z  R ，过 (0, 0, z) 点作水平截面，得到的截口面积相等，都为 ( ) 2 2  R  z ，由此得到球体的体积为 3 3 4 V  R 。 二．十七世纪前微分学与积分学的发展历史 公元前5世纪，古希腊数学家安提丰（Antiphon）创立了“穷竭法”， 认为圆内接正多边形当边数不断增加，最后多边形就与圆相合。公元 前2世纪，古希腊数学家阿基米德（Archimedes）对“穷竭法”作出了 巧妙的应用，他在《论抛物线求积法》中用“穷竭法”求抛物弓形的面 积，他构造一系列三角形使它们的面积和不断接近抛物弓形的面积， 这就是极限理论的最初形式。在《论球和柱体》一书中，阿基米德首 先得到了球和球冠的表面积、球和球缺的体积的正确公式。阿基米德 的著作代表了古希腊数学的顶峰