这说明向量 grad f(x0,y2=0)=f2(x,y,=0)i+f,(x0,y2=0)j+f:(x,y0,=0)k 与向量=[出正交,即与曲线在xny1:5)点的切向量正交,因 dx d 此 grad ft(x0,yo,x0)可看作是曲线在(xn,yn,)点处的法平面上的向量。由 定理1251,这个法平面是由 gradS(x0,y0,=0)与 grad H(x0,yo,=0)张成的, 因此 grad f(x0,yo,=0)可以由 gradE(xn,ybn2)和 gradE(xny20)线性表出, 或者说,存在常数λn,A,使得 grad f(o,yo, =o)=no gradG(ro, yo, =0)+Ho grad H(o,yo 20), 这就是点(xa2y,=)为条件极值点所满足的必要条件这说明向量 i j ),,(),,(),,(),,(grad k 000 000 000 000 zyxfzyxfzyxfzyxf = x + y + z 与向量 ⎟⎠⎞ ⎜⎝⎛ = dxdz dxdy τ ,,1 正交，即与曲线在 ),,( 000 zyx 点的切向量正交，因 此 zyxf 000 ),,(grad 可看作是曲线在 ),,( 000 zyx 点处的法平面上的向量。由 定理 12.5.1，这个法平面是由 zyxG 000 ),,(grad 与 zyxH 000 ),,(grad 张成的， 因此 zyxf 000 ),,(grad 可以由 zyxG 000 ),,(grad 和 zyxH 000 ),,(grad 线性表出， 或者说，存在常数 00 λ ,μ ，使得 zyxf 000 ),,(grad =λ0 zyxG 000 ),,(grad + μ 0 zyxH 000 ),,(grad ， 这就是点 ),,( 000 zyx 为条件极值点所满足的必要条件