级数SA收敛,其元素为 q+(AU1+(A2)1+(A° 显然也是收敛的.作为数项级数,其通项趋于零是级数收敛的必要条件.故 (A)1→0,即A→0 也就是说A为收敛矩阵. [充分性] A为收敛矩阵,则其特征值的模值均小于1.设A的特征值为λ,(|-A的特征值为μ 则由 det(μ|-(|-A)=det((μ-1)+A=(-1)ydet((1-μ)l-A) 可见1-μ=λ→μ=1-λ 故0<叫<2→以≠0,(-A)的行列式不为零,(-A)存在 而(+A+A2+…+A)(-A)=|-A1 右乘(|-A)得 +A+A2+…+Ak=(|-Ax)(|-A) 当k→∝时,Ak→0,故A(-A)1→0.所以 ∑A=im∑A=(-4) 即 Neumann级数收敛于(-A 2.收敛圆 [定理]若矩阵A的特征值全部落在幂级数q(z)=cz的收敛圆内,则矩阵幂级数 (A=∑,A°=1)是绝对收敛的.反之,若A存在落在p(z)的收敛圆外的特征值, 则p(A)是发散的 证明略 [推论]若幂级数在整个复平面上收敛,则对任何的方阵A,q(A均收敛级数   k k=0 A 收敛, 其元素为 2 3 σij ij ij ij +(A) +(A ) +(A ) + 显然也是收敛的. 作为数项级数, 其通项趋于零是级数收敛的必要条件. 故  k ij k→ (A ) → 0 ，即  k k→ A → 0 也就是说 A 为收敛矩阵. [充分性]: A 为收敛矩阵, 则其特征值的模值均小于 1. 设 A 的特征值为 λ, (I- A) 的特征值为 μ. 则由 n det(μI-(I- A))= det((μ- 1)I+ A)=(-1) det((1-μ)I- A) 可见 1-μ=λ→μ= 1-λ 故 0 <μ< 2→μ≠0, (I- A) 的行列式不为零, -1 (I- A) 存在. 而 2 k k+1 (I+ A + A + + A )(I- A)=I- A 右乘 -1 (I- A) 得 2 k k+1 -1 I+ A + A + + A =(I- A )(I- A) 当 k→ 时, k+1 A →0, 故 k+1 -1 A (I- A) →0 . 所以    k i i -1 k→ i=0 i=0 A =lim A =(I- A) 即 Neumann 级数收敛于 -1 (I- A) . 2. 收敛圆 [定理] 若矩阵 A 的特征值全部落在幂级数   k k k=0 (z)= c z 的收敛圆内, 则矩阵幂级数   k 0 k k=0 (A)= c A ,(A =I) 是绝对收敛的. 反之, 若 A 存在落在 (z) 的收敛圆外的特征值, 则 (A) 是发散的. 证明略. [推论] 若幂级数在整个复平面上收敛, 则对任何的方阵 A, (A) 均收敛