大学物理练习册一运动守恒定律 质心质心运动定律 3-5求半径为R的半圆形匀质薄板的质心(如图3-3所示)。 解:设薄板质量为m,面密度为6m的质量分布对称性知,质心在x轴上。 在距O点为x的地方取一宽度为dx细长条,对应的质量 dm=2a√R2-x2dx,由质心定义 x sdo rdm 20 图3-5 ∫xR-xd 3-6一根长为L,质量均匀的软绳,挂在一半径很小的光滑钉子上,如图3-6所示。开始时,BC=b,试用 质心的方法证明当BC21B3时,绳的加速度为a=g3,速率为y=128(-=2+bL-b2) 解:由软绳在运动方向的受力和牛顿定律 2v-L Agly-(L-D)]=La,a= dv dvd d dt dy dt d VL 另解(用质心) (L-b)2-+b 当BC=b时,链系的质心为y= L2-2Lb+2b2 2L 当BC==L时,链系的质心为y=L 又重力的功等于物体动能的增量 goyo =2g(y2-y2),V= L+bL -b----- 角动量(动量矩)及其守恒定律 3-7已知质量为m的人造卫星在半径为r的圆轨道上运行,其角动量大小为L,求它的动能、势能和总能 量。(引力势能En=-Gmm,G为万有引力常数) 解:L=m,v= 设地球质量M,B=CmM.,由牛顿定律CmM_2AmM大学物理练习册—运动守恒定律 质心 质心运动定律 3-5 求半径为 R 的半圆形匀质薄板的质心（如图 3-3 所示）。 O y R 图 3-5 x 解：设薄板质量为 m ，面密度为 2 2 R m π σ = 。由质量分布对称性知，质心在 x 轴上。 在距o 点为 x 的地方取一宽度为d x 细长条，对应的质量 d m 2 R x d x 2 2 = σ − ，由质心定义 π σ 3 4 d 2 d 0 0 2 2 R x R x x m m x m x R R c = = − = ∫ ∫ 3-6 一根长为 L，质量均匀的软绳，挂在一半径很小的光滑钉子上，如图 3-6 所示。开始时，BC=b，试用 质心的方法证明当 BC=2L/3 时，绳的加速度为 a=g/3，速率为 ) 9 2 ( 2 2 2 L bL b L g v = − + − 。 C B b 图 3-6 解：由软绳在运动方向的受力和牛顿定律 λg[ y − (L − y)] = λLa ， g L y L a − = 2 ， a g y L 3 1 3 2 = = y v v t y y v t v g L y L a d d d d d d d 2 d = = = − = ， ∫ ∫ = − L b v y L y L g v v 3 2 0 d (2 )d ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − + − 2 2 9 2 2 L bL b L g v 另解(用质心) 当 BC = b 时，链系的质心为 L L Lb b m b b L b L b yc 2 2 2 2 2 ( ) 2 2 − + = + − − = λ λ 当 BC L 3 2 = 时，链系的质心为 yc L 18 5 ′ = 又重力的功等于物体动能的增量 2 2 1 mg( yc ′ − yc ) = mv ，v2 = 2g( yc ′ − yc )， ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − + − 2 2 9 2 2 L bL b L g v 角动量（动量矩）及其守恒定律 3-7 已知质量为 m 的人造卫星在半径为 r 的圆轨道上运行，其角动量大小为 L，求它的动能、势能和总能 量。（引力势能 r m m Ep G 1 2 = − ，G 为万有引力常数） 解： L = rmv ， mr L v = ， 2 2 2 2 2 1 mr L E mv k = = 设地球质量 M e ， r mM E G e p = − ，由牛顿定律 r v m r mM G e 2 2 = ， 2 mv r mM G e = ， 2 2 mr L E e p = − 9