和,其中p(n)和d(n)都是n的多出式,为了保证级数收敛,p(n)的数至如要比d(n)的。数 低2,即 如果dn)是n的m田多出式,并且全部零点都是一阶零点 n)=(n+a1)(n+a2)…( 即un只有一阶极点,则可部分分式为 d(n) 利用ψ函数的递推关能,即可求得 ak p(ok+ N)-v(ak) ∑a(ak+N)-hnN-(ak月 其中利用了∑ak=0.取极限N→∞,即得 k=1 n ok+ N)-In NI ψ(ak) k=1 结8.1求无穷级数∑ 发 (3n+1)(3n+2)(3n+3) 解因 所以,根据上面上出的求和代式,有 ψp(1) 代入ψ函数的特殊值,即得 3= 结8.2求无穷级数∑和,其中a>0§8.3 ψ ✄ ☎ ✆ 8 ✝ ➞➟✪✫ ✬ p(n) ➟ d(n) ➊✛ n ✕➠➝➼✳✦ ③➡❤ ü✔♣q✪ p(n) ✕➢✔➤➥❑ ì d(n) ✕➢✔ ➦ 2 ✪ ➚ limn→∞ un = limn→∞ n · un = 0. ➥ õ d(n) ✛ n ✕ m ➢➠➝➼ ✪❫❴❛P♣ ⑧➊✛❄❡♣⑧ ✪ d(n) = (n + α1)(n + α2)· · ·(n + αm), ➚ un ♠⑩❄ ❡➋⑧ ✪q ❢ P✤✤➼ ✦ un = p(n) d(n) = Xm k=1 ak n + αk . ↕✘ ψ ✓✔✕➧ ⑨➃➨✪ ➚❢➛ ➀ X N n=0 un = Xm k=1 ak [ψ(αk + N) − ψ(αk)] = Xm k=1 ak [ψ(αk + N) − ln N − ψ(αk)] , ✫ ✬↕✘③ Pm k=1 ak = 0 ✳ ➡➋➣ N → ∞ ✪ ➚➀ X∞ n=0 un = lim N→∞ Xm k=1 ak [ψ(αk + N) − ln N − ψ(αk)] = lim N→∞ Xm k=1 ak [ψ(αk + N) − ln N] − Xm k=1 akψ(αk) = − Xm k=1 akψ(αk). ➩ 8.1 ➛●❍ü✔ P∞ n=0 1 (3n + 1)(3n + 2)(3n + 3) ➞➟✳ ✿ ❃✦ 1 (3n + 1)(3n + 2)(3n + 3) = 1 6 1 n + 1/3 − 1 3 1 n + 2/3 + 1 6 1 n + 1 , ■❏✪✌✍②❝② ➝✕➛➟❥ ➼ ✪⑩ X∞ n=0 1 (3n + 1)(3n + 2)(3n + 3) = − 1 6  ψ  1 3  − 2ψ  2 3  + ψ(1) . ❥☛ ψ ✓✔✕➏➐♥✪ ➚➀ X∞ n=0 1 (3n + 1)(3n + 2)(3n + 3) = 1 4  π √ 3 − ln 3 . ➩ 8.2 ➛●❍ü✔ P∞ n=0 1 n2 + a 2 ➞➟✪✫ ✬ a > 0 ✳