§83ψ函数 中函数是r函数的对数微商 dIn r ψ(x) r(2) 根据r函数的性质,可以得出ψ(2)的下列性质: 都是ψ(2)的一阶极点,留数均为-1;除了这些点以外,ψ(x)在全平面 解析 2.(2+1)=中(2)+ 中(2+n)=(2)+1+ 2+n-1n=2,3 3.ψ(1-2)=ψ(2)+ cot 72 4.W()-(-2)=-1-reor 5.(2)=时()+中(2+)+h2 6.u(2)~lnz 2520+ →∞,| arg zl<兀 7.Iim[(2+n)-ln]=0 中函数的特殊值有 ψ(1)= ψ(1) 2In2 7-2ln2+2,ψ -3ln2 中(2)=-+2一3m2 32 其中=-(1)是数学中的一个基本常数,称为 Euler常数 7=0.57721566490153286060651209008240 它的定义是 1 ★利用ψ函数,可以方便地求出通项为有理式的无穷级数 p(n)￾✁✂ Γ ✄ ☎ ✆ 7 ✝ §8.3 ψ ☞ ✌ ψ ✓✔✛ Γ ✓✔✕r ✔➇➈ ψ(z) = dln Γ (z) dz = Γ 0 (z) Γ (z) . ✌✍ Γ ✓✔✕➆❧ ✪ ❢ ❏ ➀➝ ψ(z) ✕ø➉➆❧➯ 1. z = 0, −1, −2, · · · ➊✛ ψ(z) ✕❄❡➋⑧ ✪ ➦✔⑨✦ −1 ❈➌③ ✜➍ ⑧ ❏➎✪ ψ(z) ❉ ❛❜❝ ✲❞✳ 2. ψ(z + 1) = ψ(z) + 1 z . ψ(z + n) = ψ(z) + 1 z + 1 z + 1 + · · · + 1 z + n − 1 , n = 2, 3, · · · . 3. ψ(1 − z) = ψ(z) + π cot πz. 4. ψ(z) − ψ(−z) = − 1 z − π cot πz. 5. ψ(2z) = 1 2 ψ(z) + 1 2 ψ  z + 1 2  + ln 2. 6. ψ(z) ∼ ln z − 1 2z − 1 12z 2 + 1 120z 4 − 1 252z 6 + · · · , z → ∞, | arg z| < π. 7. limn→∞ ψ(z + n) − ln n = 0. ψ ✓✔✕➏➐♥⑩ ψ(1) = −γ, ψ 0 (1) = π 2 6 , ψ  1 2  = −γ − 2 ln 2, ψ 0  1 2  = π 2 2 , ψ  − 1 2  = −γ − 2 ln 2 + 2, ψ 0  − 1 2  = π 2 2 + 4, ψ  1 4  = −γ − π 2 − 3 ln 2, ψ  3 4  = −γ + π 2 − 3 ln 2, ψ  1 3  = −γ − π 2 √ 3 − 3 2 ln 3, ψ  2 3  = −γ + π 2 √ 3 − 3 2 ln 3. ➑ ✦ γ = −ψ(1) × ➱ ➒ ✦➬é✑➓➔→➱ ✪➣ß Euler → ➱ γ = 0.5772 1566 4901 5328 6060 6512 0900 8240 · · · . ↔➬✃❐× γ = limn→∞ "Xn k=1 1 k − ln n # . F ↕✘ ψ ✓✔✪ ❢ ❏ ➻➙ ⑦➛➝➜➝✦⑩✱➼✕●❍ü✔ X∞ n=0 un = X∞ n=0 p(n) d(n)