自动控制系统及应用 由式(5.9)可知,闭环系统稳定时,即当z=0时应满足 P=2N或N=P/2 综上所述,给出奈氏据判据的结论:当O从0→+∞时,开环频率特性曲线 G(io)H(o)逆时针包围(-1,j0)点的次数N等于开环右极点数的一半,则闭环系统稳 定,否则不稳定 5.3.2奈氏判据应用举例 应用奈氏判据判断系统稳定性的一般步骤如下 首先,绘制O从0→+0变化时的开环频率特性曲线,并在曲线上标出O从0→+∞增 加的方向。根据曲线包围(-1,j0)点的次数和方向,求出N的大小及正负。为此可从点 (-1,j0)向曲线上作一矢量,并计算这个矢量当O从0→+∞变化时相应转过的“净”角度 规定逆时针旋转方向为正角度方向,并按转过360°折算N=1,转过-3600折算N= 要注意N的正负及N=0的情况,见图5.5。 图5.5N的计算 然后,由给定的开环传递函数确定开环右极点数p,并按奈氏判据判断系统的稳定性。 若N=p/2,则闭环系统稳定,否则不稳定。如果曲线刚好通过(-1,0)点,表明闭环系 统有极点位于虚轴上,系统处于临界稳定状态。 需要指出,开环传递函数中没有s=0的极点时,开环奈氏曲线为一条封闭曲线,而当 开环传递函数中有s=0的极点,即含有积分环节时,奈氏曲线就不是封闭曲线,为了确定 曲线对(-1,j0)点的包围情况,这时需要作辅助曲线。可以证明(证明从略),辅助曲线的 作法是:以原点为圆心以无穷大为半径,从实轴上开始顺时针方向绕行y×90°(y为积分 环节的个数)作圆弧至奈氏曲线的起始端。注意从实轴上开始并不一定都是从正实轴上开 例5.5单位负反馈系统的开环传递函数为G(s)= ,试用奈氏判据判断k=4 0.ls+1 和k=-4情况下的稳定性自动控制系统及应用 150 图 5.5 N 的计算 ω=∞ ω=∞ b) N=0 图7.5 的计算 a) N= ω=0 -1 0 Re -1 0 ω=0 Re ［GH］ Im Im ［GH］ -1 由式（5.9）可知，闭环系统稳定时，即当 z = 0 时应满足 p N = 2 或 N p = 2 综上所述，给出奈氏据判据的结论：当  从 0 → + 时，开环频率特性曲线 G j H j ( ) ( )   逆时针包围 ( 1, 0) − j 点的次数 N 等于开环右极点数的一半 2 p ，则闭环系统稳 定，否则不稳定。 5.3.2 奈氏判据应用举例 应用奈氏判据判断系统稳定性的一般步骤如下。 首先，绘制  从 0 → + 变化时的开环频率特性曲线，并在曲线上标出  从 0 → + 增 加的方向。根据曲线包围 ( 1, 0) − j 点的次数和方向，求出 N 的大小及正负。为此可从点 ( 1, 0) − j 向曲线上作一矢量，并计算这个矢量当  从 0 → + 变化时相应转过的“净”角度， 规定逆时针旋转方向为正角度方向，并按转过 0 360 折算 N =1 ，转过 0 −360 折算 N =−1。 要注意 N 的正负及 N = 0 的情况，见图 5.5。 然后，由给定的开环传递函数确定开环右极点数 p ，并按奈氏判据判断系统的稳定性。 若 N p = 2 ，则闭环系统稳定，否则不稳定。如果曲线刚好通过 ( 1, 0) − j 点，表明闭环系 统有极点位于虚轴上，系统处于临界稳定状态。 需要指出，开环传递函数中没有 s = 0 的极点时，开环奈氏曲线为一条封闭曲线，而当 开环传递函数中有 s = 0 的极点，即含有积分环节时，奈氏曲线就不是封闭曲线，为了确定 曲线对 ( 1, 0) − j 点的包围情况，这时需要作辅助曲线。可以证明（证明从略），辅助曲线的 作法是：以原点为圆心以无穷大为半径，从实轴上开始顺时针方向绕行 o  90 （  为积分 环节的个数）作圆弧至奈氏曲线的起始端。注意从实轴上开始并不一定都是从正实轴上开始。 例 5.5 单位负反馈系统的开环传递函数为 ( ) 0.1 1 k G s s = + ，试用奈氏判据判断 k = 4 和 k =−4 情况下的稳定性