令P=X(xy),Q=y(xy),直接得 d小 17(本题共10分)设z=f(x,y)在R2上具有连续的二阶偏导数。证明 1)若z=f(x,y)变量可分离,即存在连续可导函数(x),v(y)使得 1f(xy)=o(xy(y),则z=f(x,y)满足z Oxy ax a 2)若z=f(xy)>0,且满足:z_BB,则z=1xy)变量可分离。 证明:1)略:2)日 2-=,故三=Mx),其中hx)为连续可导函数。 1从而h=M对,积分得h2=xk+g(y,其中g()为连续可导函数,得证 部5                   cos( , ) cos( , )   ， 令 2 2   ( , ) ， 2 2   ( , ) ，直接得            2 2 2 2 2 2 2 ( )  。 7. (本题共 10 分) 设  ( , ) 在 2 上具有连续的二阶偏导数。证明： 1) 若  ( , ) 变 量 可 分 离 ， 即 存 在 连 续 可 导 函 数 ( ) ，  ( ) 使 得 ( , ) ( ) ( ) ，则  ( , ) 满足         2 ； 2) 若  ( , )  0 ，且满足         2 ，则  ( , ) 变量可分离。 证明：1) 略；2) 0 2                ，故  ( )  ，其中 ( ) 为连续可导函数。 从而 ln  ( )   ，积分得 ln  ( )  ( )  ，其中 ( ) 为连续可导函数。得证。 （ 装 订 线 内 不 要 答 题 ）