Du, v3u-2y-2. [ayr "drdy=fluv?pu wy -ucv= j dudov=+oo x, y D(x 5(本题共10分)证明不等式:当x≥1,y≥0时,e"+xhx-x-xy≥0。 证明:令f(x,y)=e"+xhx-x-xy, f(x,y)=hnx-y, fex,y=er-x, x≥1,f(x,y)在n=hx处最小值f(xo,hx0)=0; y≥0,f(x,υ)在x=e处最小值f(e,y)=0。因此f(x,y)最小值0 6(本题共10分)设z=f(x,y)在x2+y2≤1上有连续的偏导数,且在x2+y2=1上恒 为零,证明:f(0,0)=lm x2+ya,其中D)为圆环区域 E2≤x2+y2 x+12,9=4/(xy)aaP_x+V 证明一:令P=二V(xy) 。由 Green公式得 ∫x+y4=。P+Q,其中x+y=为顺时针方向, 设z为x2+y2=E2上沿顺时针方向的单位切向量,n为x2+y2=E2上指向原点的单位 法向量,则 (dx, dy)=tds=(-cos(n, v), cos(n, x)ds=-(y 从而 Pdx+Ody 又 ds=2n,和z=f(x,y)的连续性,利用三角不等式估计得证 证明二:由散度定理(Gren公式的等价形式)4 2 2 3 1    ( , ) ( , ) 。           3 2 2 1 ( , ) ( , ) ( ) ( ) 。 5. (本题共 10 分) 证明不等式：当 1，  0 时，  ln    0。 证明：令 ( , )   ln   ， ( , )  ln  ， ( , )   ，  0 1， ( , ) 0 在 0 0  ln 处最小值 ( 0 ,ln 0 ) 0 ；  0  0， ( , ) 0 在 0 0  处最小值 0 0 0 ( , )  。因此 ( , ) 最小值 0 。 6. (本题共 10 分) 设  ( , ) 在 1 2 2   上有连续的偏导数，且在 1 2 2   上恒 为零，证明：         ( ) ( , ) lim    2 2 0 2 -1 0 0 ， 其 中 ( ) 为圆环区域 1 2 2 2     。 证明一：令 2 2    ( , ) ， 2 2   ( , ) ，则 2 2           。由 Green 公式得           2 2 2 2 2 ( )  ，其中 2 2 2    为顺时针方向。 设   为 2 2 2    上沿顺时针方向的单位切向量，  为 2 2 2    上指向原点的单位 法向量，则 ( , ) ( cos( , ),cos( , )) ( , ) 2 2 2 2 -            ， 从而           2 2 2 2 2 2 2 2   。 又   2 1 2 2 2 2 2      ，和  ( , ) 的连续性，利用三角不等式估计得证。 证明二：由散度定理(Green 公式的等价形式)