Chapter 13柱坐标下的分离变量法 Bessel I函数 Abstract 以3+1D实例通过柱坐标系下方程的变量分离与求解,引入各种柱函数 ( Bessel函数、 Nordmann函数、 Hankel函数、虚宗量 Bessel函数、 Macdonald函数和三类球 Bessel函数等12个 Bessel函数)。在分析 这些函数性质的基础上,表述相应定解问题的物理解。 、柱坐标下的变量分离 1.柱坐标系下的稳定问题(3+0D, Laplace方程) 1 aa a-u au 0 即 +L=0. (2 只要实空间可分离变量,就可令M(p,9,2)=R(p)V)Z(),将其代入方程(2)得 b(F)+—d”+Rbz”=0 (3) 029)得:2(DR)=二0= (4) 由这种分离变量得: A=0 P(PRD'P2Z 方程(5)与周期性边界条件 d(0)=(2x),Φ(0=d(2x) 构成本征值问题。解得:An=m2(m=0,1,2,3,…,Φn()={ cos mp, sin mg?} 方程(6)即为 P(pR) PZ 分离变量 得 这两个方程,先求解哪一个以及如何取值,取决于哪一个可构成本征值问题, 也就是取决于定解问题的边界条件。假设(如果)R(p)构成本征值问题,则 PR"+pR+(up'-m)R=0Methods of Mathematical Physics (2016.12) Chapter 13 Separation of variables in cylindrical coordinates and Bessel functions YLMa@Phys.FDU 1 Chapter 13 柱坐标下的分离变量法 Bessel 函数 Abstracts 以 3+1D 实例通过柱坐标系下方程的变量分离与求解,引入各种柱函数 （Bessel 函数、Norimann 函数、Hankel 函数、虚宗量 Bessel 函数、 Macdonald 函数和三类球 Bessel 函数等 12 个 Bessel 函数）。在分析 这些函数性质的基础上，表述相应定解问题的物理解。 一、柱坐标下的变量分离 1. 柱坐标系下的稳定问题（3+0D，Laplace 方程） 2 2 2 2 2 2 1 1 0, u u u u z                          （1） 即：   2 2 1 1 0. zz u u u u            （2） 只要实空间可分离变量，就可令 u z R Z z ( , , ) ( ) ( ) ( )       ，将其代入方程（2）得：   2 0. Z RZ R R Z             （3） 2 (3) R Z    得：   2 ' . R Z R Z              （4） 由这种分离变量得：   2 0. (5) ' . (6) R Z R Z                   方程（5）与周期性边界条件       (0) (2 ), (0) (2 )     构成本征值问题。解得： 2 ( 0,1,2,3, ), m   m m ( ) {cos ,sin }.   m    m m 方程（6）即为   2 2 R ' Z m R Z         分离变量   2 2 ' . R m Z R Z            得：   2 2 2 0. 0. Z Z R R m R                  这两个方程，先求解哪一个以及  如何取值，取决于哪一个可构成本征值问题， 也就是取决于定解问题的边界条件。假设（如果） R( )  构成本征值问题，则   2 2 2    R R m R       0