式中的取值范围不同,方程解的形式与性质不同 1)4=0:p2R"+pR-m2R=0,即为 Euler eq 2)20+pR+(l)-m]=0 R ir dy(x) up=x d 则: R(p)=y(x) R dr' d dp dp (√y)=v 代入(7)得(的量纲为11p2,这里将径向变量无量纲化了,相当于取4=1) x2y”+xy+(x2-m2)y=0即为m阶Bes 3)<0:令H=-k2,代入p2R+pR+(p2-m)R=0得 PR+pR'(p2+m)R 记kp=x,R(p)=y(x),代入(8)得: (x2+m2)y=0,即为虚宗量 Bessel eq.(9) 令:ⅸx=1,y(x)=c(1)代入(9)得 ry"+1+(2-m)=0,即为 Bessel ec 我们假设R(p)构成了S-L型本征值问题,即径向有自然、周期或齐次边界 条件,从而=H,R=R再解出Z=2Z()得Mp)=∑LR(p)()2 2.柱坐标系下的非稳定问题(3+1D,振动、输运方程) (F,1)-avu(,1)=0; u(F,1)-av2v(F,1)=0 只要时空可分离变量,就可令(,9,z,1)=T()(p,9,=),将其代入上式得: T”V2 v 2TMethods of Mathematical Physics (2016.12) Chapter 13 Separation of variables in cylindrical coordinates and Bessel functions YLMa@Phys.FDU 2 式中  的取值范围不同，方程解的形式与性质不同。 1) 0:   2 2   R R m R      0, 即为 Euler eq. 2) 0:     2 2 2     R R m R 0.             （7） 记： ( ) ( ) x R y x         则：   d d ( ) d , d d d d d d d , d d d d R y x x R y x R y x R y y x                               代入（7）得（  的量纲为 2 1/ ,  这里将径向变量无量纲化了，相当于取   1 ）   2 2 2 x y xy x m y       0, 即为 m 阶 Bessel eq. 3) 0:   令 2   k ，代入   0 2 2 2  R R   m R  得   2 2 2 2    R R k m R       0. （8） 记 k x R y x     , ( ) ( ) ，代入（8）得：   2 2 2 x y xy x m y       0, 即为虚宗量 Bessel eq. （9） 令： ix t y x t   , ( ) ( )  代入（9）得   2 2 2 t t t m          0, 即为 Bessel eq. 我们假设 R( )  构成了 S-L 型本征值问题，即径向有自然、周期或齐次边界 条件，从而 , .     n n R R 再解出 ( ), Z Z z n  得 ( , , ) ( ) ( ) . im nm n n nm u z A R Z z e      2. 柱坐标系下的非稳定问题（3+1D，振动、输运方程） 2 2 2 2 ( , ) ( , ) 0; ( , ) ( , ) 0. tt t u r t a u r t u r t a u r t          只要时空可分离变量，就可令 u z t T t V z ( , , , ) ( ) ( , , )      ，将其代入上式得： 2 2 2 2 2 2 ; . T V k a T V T V k a T V                