注意两个方程及其a的物理意义不同。分离变量得: T”+a2k2T=0 (容易求解 the lst eg. is the wave eg . it is damping if Imk#0 T"+a2k2T=0 the 2nd eg is also the wave eg in Qu Mech. due to ia 和 V2V+k2=0 此为 Helmholtz方程,即:1(p)+m+V2+k=0 只要实空间可分离变量,就可令T(9,z)=R(p()Z(=),将其代入上式得 Z"-=0 同样要求对k2+的符号(±)加以讨论(下面的第二节为正,第三节为负一源于 z(z)的本征值问题)。 、 Bessel函数[(圆)柱函数 Bessel函数 设p√2+=x,R(p)=y(x)则一般地[如果O)中没有周期条件,则v 可以不为整数] y2+xy+(2-y2)y=0=y(x)=(x)+BN,(x) 其中:J(x)=∑ kIT(v+k N,(x) J (x)cos VT-J_(x) N, (x)=lim(X)cosVT-3-()(v=n integer, see chapt. 8. p. 16) sIn vT ):v阶(第一类) Bessel函数; (x):v阶(第二类) Bessel函数Methods of Mathematical Physics (2016.12) Chapter 13 Separation of variables in cylindrical coordinates and Bessel functions YLMa@Phys.FDU 3 注意两个方程及其 a 的物理意义不同。分离变量得： 2 2 2 2 2 0 ( 0 t T a k T k T a k T i                the 1st eq. is the wave eq.,it is damping if Im 0. 容易求解) the 2nd eq. is also the wave eq.in Qu.Mech.due to . 和 2 2    V k V 0, 此为 Helmholtz 方程，即：   2 2 1 1 0. V V V k V   zz         只要实空间可分离变量，就可令 V z R Z z ( , , ) ( ) ( ) ( )       ，将其代入上式得：   2 2 2 2 2 0. 0. 0. m Z Z R R k m R                              同样要求对 2 k   的符号 ( )  加以讨论（下面的第二节为正，第三节为负—源于 Z z( ) 的本征值问题）。 二、Bessel 函数 [(圆)柱函数] 1. Bessel 函数 设 2    k x R y x    , ( ) ( ), 则一般地 [如果 ( )  中没有周期条件，则  可以不为整数]   0 2 2 2 x y  xy  x  y   解 y x A x B x ( ) J ( ) N ( )     ， 其中：     2 0 1 J ( ) ! 1 2 k k k x x k k                   ， J ( )cos J ( ) N ( ) ( integer, see chapt. 8) sin x x x           ， J ( )cos J ( ) N ( ) lim ( integer see chapt. 8,p.16). sin n n x x x n            ， J ( ) : x   阶（第一类）Bessel 函数; N ( ) : x   阶（第二类）Bessel 函数