Methods of Mathematical Physics(2016. 12)Chapter 13 Separation of variables in cylindrical coordinates and Bessel functions YLMa(@ Phys. FDU v≠整数,J,(x)和J(x)线性无关解 v=m=整数,Jn(x)和Nn(x)线性无关解, N2(x): Normann函数。 当x=k2+是实数时,J,(x)和N()都是实函数,现在再引入两个复函数。 H(x)=J(x)+N,(x),第一种 Hankel函数 H2(x)=J,(x)-N,(x)第二种 Hankel函数 它们统称为v阶(第三类) Bessel函数,于是 Bessel方程的解可以是以上四种 函数中任何两个的线性组合。 这个类似于(1)cosx,(2)sinx,(3)cosx+ SINx=e,(4)cosx- IsIn x=e都是 方程y(x)+y(x)=0的特解;或方程y(x)-y(x)=0的特解有() cosh,(2) sinha, (3). cosh x+ sinh x=e,(4) cosh- sinh x=ex,其通解可以用以上四个函数中任何 两个线性组合表示[方程y”"(x)-y(x)=0的通解是这四个函数的线性组合] 2.各种柱函数的递推公式与渐近性质 (1)递推公式 (x2Z) Z+-Z=Z 「2z1=2-Z Z z.,+z 乙代表JN,H,H2 证明:例如,J(x)=)(-1)(x)2 kzk!(+k+1)(2 (xJ)÷()(2u+2k) k!(v+k+1) 即:(xZ)=xZ同理又有:(x"z,)=-x2Z 特例:J=-1→1(5)d5=1-J(x,J(O)=1见下其实是定义) (z)=xZ-→-.、)=x,(x)Methods of Mathematical Physics (2016.12) Chapter 13 Separation of variables in cylindrical coordinates and Bessel functions YLMa@Phys.FDU 4 J ( ) J ( ) J ( ) N ( ) N ( ) : Norimann m m m x x m x x x         整数， 和 线性无关解; 整数， 和 线性无关解, 函数。 当 2 x k =   是实数时， J ( ) x  和 N ( ) x  都是实函数，现在再引入两个复函数。 (1) H ( ) J ( ) N ( ) x x i x      ,第一种 Hankel 函数; (2) H ( ) J ( ) N ( ) x x i x      ,第二种 Hankel 函数, 它们统称为  阶（第三类）Bessel 函数，于是 Bessel 方程的解可以是以上四种 函数中任何两个的线性组合。 这个类似于 (1).cos ,(2).sin , x x (3).cos sin ,(4).cos sin ix ix x i x e x i x e     都是 方程 y x y x ( ) ( ) 0   的特解；或方程 y x y x ( ) ( ) 0   的特解有 (1).cosh ,(2).sinh , x x (3).cosh sinh ,(4).cosh sinh x x x x e x x e      ，其通解可以用以上四个函数中任何 两个线性组合表示 [方程 y x y x ( ) ( ) 0   的通解是这四个函数的线性组合]。 2. 各种柱函数的递推公式与渐近性质 （1）递推公式     1 1 ' , ' . x Z x Z x Z x Z                     1 1 , . Z Z Z x Z Z Z x                       Cal. ( ) 1 1 1 1 2 , 2 . Z Z Z Z Z Z x                       Z 代表 (1) (2) J , N ,H ,H     . 证明：例如，     2 0 1 J ( ) ! 1 2 k k k x x k k                   def. ，           2 2 1 1 2 2 1 2 1 0 0 1 (2 2 ) 1 J ' J , ! 1 2 ! 1 1 2 k k k k k k k k k x x x x x k k k k                                        cal. 即：   1 x Z x Z ' .       同理又有：   1 x Z x Z '          . 特例： 0 1 J' J   1 0   0 J 1 J ( ) x     d x  , 0 (J (0) 1  见下,其实是定义).    1      x Z x Z   1 1 1 0 J J ( ) x d x x             