(2)各个观察值与平均数的差数平方的总和,比各个观察值与任何一个数值的差数平方的 总和都小,即∑(x1-x)2<∑(x-a)2(a≠)。亦可简述为离均差平方的总和为最小用 简写式证明如下: 设a为任何数值,可能比x大或比x小,但不等于x,用算式表示即a=x±Δ,A表示 与a的差数 ∑(x-a)2=X(x-x±△)2=∑[(x-x)±△ ±2△∑(x 以公式36知,∑(x-x)=0,由此2△∑(x-x)=0 故∑(x-a)2=∑(x-x)2+m2=∑(x-x)2+m(x-a) 移项∑(x-x)2=∑(x-a)2-n(x-a) (x-x)2<∑(x-a) 因而证实了,离均差平方和比观察值离任一其它数值的差数平方和都小 几何平均数 个数量资料中如有n个观察值,相乘积开n次方所得数值,即为几何平均数,用G表 上述可用计算器直接算出,也可转换成对数运算。 几何平均数常用于表示某现象的平均发展速度,如计算若干天内,某种植物株高、根长 生长量或某种昆虫繁殖量,每天各为上天的平均倍数等,用几何平均数能比算术平均数更准 确地反映实际情况 「例34]调査某麦田百株蚜虫发生情况如表3.8,试求百株蚜虫平均每天繁殖量各为上天 的多少倍? 首先算出蚜虫每天繁殖量为上天的倍数,如6月28日为6月27日的340/100=309倍, 6月29日为6月28日的810/340=2.38倍等,然后,将这些数据代入3.8式。则有 表3.8百株蚜虫繁殖量 G=309×238×154×127=144=1.95 即百株麦蚜在4天中,平均每天繁殖量各为上天的195倍。 我们可以验证:6月27日百株麦蚜为110头,4天后为110×1.954=1590(头),与7 月1日实际虫数相符。如若用算术平均数计算就不会符合了。这说明此类问题用几何平均数6 (2)各个观察值与平均数的差数平方的总和，比各个观察值与任何一个数值的差数平方的 总和都小，即   = = −  −  n i n i i i x x x a a x 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) 。亦可简述为离均差平方的总和为最小。用 简写式证明如下： 设 a 为任何数值，可能比 x 大或比 x 小，但不等于 x ，用算式表示即 a = x   ， 表示 x 与 a 的差数。 2 2 2 2 2 ( ) 2 ( ) ( ) ( ) [( ) ] =  −    − +   − =  −   =  −   x x x x n x a x x x x 以公式 3.6 知， (x − x) = 0 ，由此 2 (x − x) = 0 故 2 2 2 2 2 (x − a) = (x − x) + n = (x − x) + n(x − a) 移项 2 2 2 (x − x) = (x − a) − n(x − a) 2 2 2 ( ) ( ) ( ) 0 x x x a n x a   −   −  −  （3.7） 因而证实了，离均差平方和比观察值离任一其它数值的差数平方和都小。 二、几何平均数 一个数量资料中如有 n 个观察值，相乘积开 n 次方所得数值，即为几何平均数，用 G 表 示。 n n G = x  x  x  x 1 2 3 (3.8) 上述可用计算器直接算出，也可转换成对数运算。 几何平均数常用于表示某现象的平均发展速度，如计算若干天内，某种植物株高、根长 生长量或某种昆虫繁殖量，每天各为上天的平均倍数等，用几何平均数能比算术平均数更准 确地反映实际情况。 [例 3.4]调查某麦田百株蚜虫发生情况如表 3.8，试求百株蚜虫平均每天繁殖量各为上天 的多少倍？ 首先算出蚜虫每天繁殖量为上天的倍数，如 6 月 28 日为 6 月 27 日的 340/100=3.09 倍， 6 月 29 日为 6 月 28 日的 810/340=2.38 倍等，然后，将这些数据代入 3.8 式。则有 表 3.8 百株蚜虫繁殖量 3.09 2.38 1.54 1.27 14.4 1.95 4 4 G =    = = 即百株麦蚜在 4 天中，平均每天繁殖量各为上天的 1.95 倍。 我们可以验证：6 月 27 日百株麦蚜为 110 头，4天后为 110×1.954=1 590（头），与 7 月 1 日实际虫数相符。如若用算术平均数计算就不会符合了。这说明此类问题用几何平均数