第七章平稳过程 71定义与例子 定义711:随机过程X(),t∈T称为严平稳过程( (strictly stationary process)z对任 意n及t1<l2<…<Ln∈T,任意h,随机向量(x(1)…X(n)与 (x(1+h)…X(tn+h)有相同的联合分布。 严平稳过程是用有限维分布定义的,故该过程可能连均值函数都不存在。若 严平稳过程还是二阶矩过程,则其均值函数山(1)=m为常数,相关函数 R(s,1)=E(s)X(1)=EX(0)X(-1)只与S-1有关,协方差函数也仅与s-1有关。 定义72:随机过程X(),t∈T称为宽平稳过程( wide sense stationary process)若 它是一个二阶矩过程且满足 1)均值函数山()=m为常数; 2)协方差函数I(s1)=E[X(s)-m][(-m]或相关函数 R(S,1)=EY(s)X(1)仅依赖于s-t。 宽平稳过程不一定严平稳。以下我们讨论平稳过程,就是指宽平稳过程 例71.1:En,n=0,±1,+2,…为零均值的方差为σ2的独立同分布随机变量序列,令 Xn=∑5n,则Xn是一个平稳序列。因为EXn=0, EX X a2C∑66nm),m≤K-1 n+阴 0,m≥K. 例71.2:设N()为强度A的 Poisson过程,令X()=N(+1)-N(t),t≥0,则X(l) 是平稳过程,均值函数为()=2,m(s={(--1-1 0 由于平稳过程的相关函数R(s,1)和协方差函数r(s,1)只依赖与时间差s-t,第七章 平稳过程 7.1 定义与例子 定义 7.1.1：随机过程 称为严平稳过程(strictly stationary process)若对任 意 及 X (t),t ∈T n t1 < t2 < L < tn ∈T ，任意 h ，随机向量 ( ( ), ( )) 1 n X t LX t 与 ( ( ), ( ) X t1 + h LX tn + h )有相同的联合分布。 严平稳过程是用有限维分布定义的，故该过程可能连均值函数都不存在。若 严平稳过程还是二阶矩过程，则其均值函数 µ(t) = m 为常数，相关函数 只与 ______ _________ R(s,t) = EX (s) X (t) = EX (0) X (s − t) s − t 有关，协方差函数也仅与s − t 有关。 定义 7.1.2：随机过程 称为宽平稳过程(wide sense stationary process)若 它是一个二阶矩过程且满足： X (t),t ∈T 1) 均值函数µ(t) = m 为常数； 2) 协方差函数 或相关函数 仅依赖于 [ ][ ______________ Γ(s,t) = E X (s) − m X (t) − m] ______ R(s,t) = EX (s) X (t) s − t 。 宽平稳过程不一定严平稳。以下我们讨论平稳过程，就是指宽平稳过程。 例 7.1.1：ε n ,n = 0,±1,±2,L为零均值的方差为 的独立同分布随机变量序列，令 ， 则 是一个平稳序列。因为 ， 。 2 σ ∑= = − K i X n i n i 1 θ ε X n EXn = 0 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≥ ≤ − = ∑= + + 0, . ( ), 1; 1 2 m K m K EX X K i i m i n n m σ θ θ 例 7.1.2：设 N(t) 为强度λ 的 Poisson 过程，令 X (t) = N(t +1) − N(t),t ≥ 0，则 是平稳过程，均值函数为 X (t) µ(t) = λ ， ⎩ ⎨ ⎧ − > − − − ≤ Γ = 0, 1 (1 ), 1 ( , ) s t s t s t s t λ 。 由于平稳过程的相关函数 R(s,t) 和协方差函数Γ(s,t) 只依赖与时间差 s − t ， 1