令r=s-t,则相关函数和协方差函数实际上只是r的函数,分别记为R(r)和 r(r)。 72相关函数(协方差函数 相关函数(协方差函数)基本性质: 1)R(0)≥0; 2)R(-x)=R(x); 3)R(r)≤R(O); R(r)是非负定的,即对任意n,a1,=1…,n为复数及l1=1…n有 ∑∑aaR(,-1)≥0 定理72:设H(1)为平稳过程,则以下等价: 1)X(1)均方连续; 2)(1)在t=0处均方连续; 3)相关函数R(r)(或协方差函数)连续 4)相关函数R()(或协方差函数)在r=0处连续。 证明:用 Schwarz不等式及注意到EX(+h)-X()2=2RO)-Rh)-R-b)。 定理722:设Ⅺ(1)为平稳过程,则()p次均方可微台R(r)在r=0处2p次可 微。若以下导数存在,有EXP(s)X(()=(-1)°RP(r)=(-1)R(Pq(s-1) 73相关函数的谱分解 定理73.1:1).设Xn,n=0,±1±2…为平稳序列,则相关函数R(n)可以表示为 R(n)=emd(m),其中F(w)为单调非降的右连续的有界函数且不计常数之差令τ = s − t ，则相关函数和协方差函数实际上只是τ 的函数，分别记为 R(τ ) 和 Γ(τ )。 7.2 相关函数(协方差函数) 相关函数(协方差函数)基本性质： 1) R(0) ≥ 0； 2) ； _______ R(−τ ) = R(τ ) 3) R(τ ) ≤ R(0)； 4) R(τ ) 是非负定的，即对任意 n ， ai ,i = 1,L,n 为复数及 ti ,i = 1,Ln 有 ( ) 0 1 1 ∑∑ − ≥ = = n j n i i j i j a a R t t 。 定理 7.2.1：设 X (t)为平稳过程，则以下等价： 1) X (t)均方连续； 2) X (t)在t = 0处均方连续； 3) 相关函数 R(τ ) (或协方差函数)连续； 4) 相关函数 R(τ ) (或协方差函数)在τ = 0处连续。 证明：用 Schwarz 不等式及注意到 ( ) ( ) 2 (0) ( ) ( ) 2 E X t + h − X t = R − R h − R −h 。 定理 7.2.2：设 X (t)为平稳过程，则 X (t) p 次均方可微⇔ R(τ ) 在τ = 0处 次可 微。若以下导数存在，有 。 2 p ( ) ( 1) ( ) ) ( ) ( ) ( 1) τ ( ( ) _________ ( ) ( ) EX s X t R R s t p q q p q q p q = − = − − + + 7.3 相关函数的谱分解 定理 7.3.1：1). 设 X n ,n = 0,±1,±2,L为平稳序列，则相关函数 可以表示为 ，其中 为单调非降的右连续的有界函数且不计常数之差 R(n) ∫ − = π π R(n) e dF(w) jnw F(w) 2