是唯一的;特别若X是实的平稳序列,则R(m)= cos mvdF(m 2).设X()-0<1<为均方连续的平稳过程分相关函数R()可表示为 R(r)=e"dF(),其中F()为单调非降的右连续的有界函数且不计常数之差 是唯一的;特别若x是实的平稳过程,则R)=∫ os ndF(n) F()称为谱函数( spectral function),若F()导数存在,即可表为 F()=∫/(h+C,fm)称为动率谱密度 power spectral density)由 Fourier 变换的知识,有 定理73,2:设R(n)或R(r)为平稳序列或过程的相关函数, 1若∑Ro)<∞,则谱密度存在且(m)=1∑mRm; 2).若「R)r<∞,则谱密度存在且f(w)=m emR(r)dr。 例7.3.1:已知功率谱密度∫()= 这里 4 a=re",0<r<1,则相关函数R(n)=「emf(n)hp=r" cosne,n≥0。故对所有 的n,R(m)= rIm cosne。 例732:已知相关函数R(n)=al<1n≥0,R(-m)=R(m)则功率谱密度 f() R(n)= 例7.3.3:已知功率谱密度为f() p>0,则相关函数是唯一的；特别若 X n 是实的平稳序列，则 。 ∫ = π 0 1 R(n) cos nwdF (w) 2). 设 X (t),−∞ < t < ∞ 为均方连续的平稳过程 ⇔ 相关函数 R(τ ) 可表示为 ，其中 为单调非降的右连续的有界函数且不计常数之差 是唯一的；特别若 是实的平稳过程，则 。 ∫ ∞ −∞ ⋅ R( ) = e dF(w) jτ w τ F(w) X n ∫ ∞ = 0 1 R(τ ) cosτwdF (w) F(w) 称 为 谱函数 (spectral function) ， 若 导数存在，即可表为 ， 称为功率谱密度(power spectral density)。由 Fourier 变换的知识，有 F(w) F w f u du C w = + ∫ −∞ ( ) ( ) f (w) 定理 7.3.2：设 R(n)或 R(τ ) 为平稳序列或过程的相关函数， 1). 若 ∑ < ∞ ∞ n=−∞ R(n) ，则谱密度存在且 ∑ ∞ =−∞ − = n jnw f w e R(n) 2 1 ( ) π ； 2). 若 < ∞ ∫ ∞ −∞ R(τ ) dτ ，则谱密度存在且 ∫ ∞ −∞ − = τ τ π τ f w e R d j w ( ) 2 1 ( ) 。 例 7.3.1 ：已知功率谱密度 ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − + − − = 2 2 2 1 1 1 1 4 1 ( ) jw jw ae ae a f w π ，这里 ，则相关函数 。故对所有 的 ， a = re ,0 < r < 1 jθ ( ) = ( ) = cos , ≥ 0 ∫ − R n e f w dw r n n jnw n θ π π n R n r nθ n ( ) = cos 。 例 7.3.2：已知相关函数 R(n) = a , a < 1, n ≥ 0 n ， 则功率谱密度 _______ R(−n) = R(n) 2 2 1 1 2 1 ( ) 2 1 ( ) jw n jnw ae a f w e R n − − = ∑ = ∞ =−∞ − π π 。 例 7.3.3 ：已知功率谱密度为 , 0 ( ) ( ) 2 2 > + = ρ π ρ ρ w f w ，则相关函数 3