R(r)=emf()hp=e叫。 例734:已知相关函数为R(r)=e叫,p>0,则功率谱密度 f(w) e r(r)dr= 丌(p2+w2) 74平稳过程的谱分解 定理741:1).设X(n),n=0,±1…为零均值的平稳序列,则 X(n)=emds(w) 其中5(),w∈[-x,r]为零均值的右连续的正交增量过程,除相差一个随机变量 是唯一的,且对-z≤m1<v2≤,Em2)-5(m)2=F(m2)-F(m),其中F(m) 即为谱函数 2).设X()-<1<∞为零均值的均方连续的平稳过程,则 X()=「emd(w) 其中5().-∞<w<∞为零均值的右连续的正交增量过程,除相差一个随机变量 是唯一的,且对w1<m2,E(n2)-5(w)2=F(mn2)-F(n),其中F()即为谱 函数 75各态历经性与采样定理 若过程的统计平均等于样本的时间平均,这种性质称为各态历经性 ( ergodicity),也称为遍历性。设X(l)-∞<t<∞为实的平稳过程,EY(t)=m, 相关函数为R(r),协方差函数为r(r)。 定义751:若lim「X()d=m,则称均值具有遍历性;若 T→∞2T imn「X(+r)X()d=R),则称相关函数具有遍历性 T→∞2τ ρ τ τ − ∞ −∞ = = ∫ R e f w dw e j w ( ) ( ) 。 例 7.3.4 ：已知相关函数为 ( ) = , > 0 − τ ρ ρ τ R e ，则功率谱密度 ( ) ( ) 2 1 ( ) 2 2 w f w e R d jw + = = ∫ ∞ −∞ − π ρ ρ τ τ π τ 。 7.4 平稳过程的谱分解 定理 7.4.1：1). 设 X (n),n = 0,±1,L为零均值的平稳序列，则 ∫ − = π π X (n) e dξ (w) jnw 其中ξ (w),w∈[−π ,π ]为零均值的右连续的正交增量过程，除相差一个随机变量 是唯一的，且对−π ≤ w1 < w2 ≤ π ， ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 Eξ w2 −ξ w1 = F w − F w ，其中 即为谱函数。 F(w) 2). 设 X (t),−∞ < t < ∞ 为零均值的均方连续的平稳过程，则 ∫ ∞ −∞ X (t) = e d (w) jtw ξ 其中ξ (w),−∞ < w < ∞ 为零均值的右连续的正交增量过程，除相差一个随机变量 是唯一的，且对 w1 < w2 ， ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 Eξ w2 −ξ w1 = F w − F w ，其中 即为谱 函数。 F(w) 7.5 各态历经性与采样定理 若过程的统计平均等于样本的时间平均，这种性质称为各态历经性 (ergodicity)，也称为遍历性。设 X (t),−∞ < t < ∞ 为实的平稳过程， ， 相关函数为 EX (t) = m R(τ ) ，协方差函数为Γ(τ )。 定 义 7.5.1 ： 若 X t dt m T T T T = ∫ − →∞ ( ) 2 1 lim ，则称 均值具有遍历性 ； 若 ( ) ( ) ( ) 2 1 lim X t τ X t dt R τ T T T T + = ∫ − →∞ ，则称相关函数具有遍历性。 4