定理75:设Ⅺ(l)-∞<1<∞为实的均方连续的平稳过程,则均值具有遍历性, 即2J￥(n)t=m白谱函数F(川)在w=0处连续台协方差函数满足 证明:不妨设m=0,否则考虑随机过程X(1)-m,此时r(r)=R(x)。由于 X(1) 因此 ( dt edhd5()=「Φ;(w)dl5(n) 2T sint 其中Φr() imΦr(v) jo.w≠0 l,w=0 由于 X(odr= (w)dF(w) i127Jx(n)d=lm[@()F()=F(0+)-F(O) 因此imE「X()d=0→F()在w=0处连续。 2T 由于r()=R(r dF(w) jr(rdr=T Sem dF(wdt=J oT jen"dt ldF(ow)= a, (w)dF(w) 故 limr(r)dr=lim pr (w)dF(w)=F(0+)-F(O 因此 ima r(r)dr=0Fm)在m=0处连续定理 7.5.1：设 为实的均方连续的平稳过程，则均值具有遍历性， 即 X (t),−∞ < t < ∞ X t dt m T T T T = ∫ − →∞ ( ) 2 1 lim ⇔ 谱函数 F(w) 在 w = 0 处连续 ⇔ 协方差函数满足 ( ) 0 2 1 lim Γ = ∫ − →∞ T T T d T τ τ 。 证明：不妨设m = 0，否则考虑随机过程 X (t) − m，此时Γ(τ ) = R(τ )。由于 ∫ ∞ −∞ X (t) = e d (w) jtw ξ 因此， ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∞ −∞ ∞ − −∞ ∞ − −∞ = Φ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = = ( ) ( ) ( ) 2 1 ( ) 2 1 ( ) 2 1 _ e dt d w w d w T e d w dt T X t dt T T T T jwt T T jtw T T ξ ξ ξ ， 其中 ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ≠ Φ = 1, 0 , 0 sin ( ) w w wT wT T w ， 。由于 ⎩ ⎨ ⎧ = ≠ Φ = →∞ 1, 0 0, 0 lim ( ) w w T w T ∫ ∫ ∞ − −∞ ( ) = Φ ( ) ( ) 2 1 2 2 X t dt w dF w T E T T T 故 ( ) lim ( ) ( ) (0 ) (0) 2 1 lim 2 2 X t dt w dF w F F T E T T T T T = Φ = + − ∫ ∫ ∞ −∞ →∞ − →∞ 因此 ( ) 0 2 1 lim 2 = ∫ − →∞ T T T X t dt T E ⇔ F(w)在w = 0处连续。 由于 ∫ ， ∞ −∞ Γ( ) = R( ) = e dF(w) jτw τ τ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∞ −∞ ∞ − −∞ ∞ − −∞ = Φ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ Γ = = ( ) ( ) ( ) 2 1 ( ) 2 1 ( ) 2 1 _ e dt dF w w dF w T e dF w dt T d T T T T jwt T T jtw T T τ τ 故 ( ) lim ( ) ( ) (0 ) (0) 2 1 lim d w dF w F F T T T T T T Γ = Φ = + − ∫ ∫ ∞ −∞ →∞ − →∞ τ τ 因此 ( ) 0 2 1 lim Γ = ∫ − →∞ T T T d T τ τ ⇔ F(w)在w = 0处连续。 5